侯明輝

對于正方形的判定,教材中沒有明確的判定定理.本文給出了判定正方形的三種方法,并舉例予以說明,供同學們學習時參考.

方法一 先證四邊形是矩形,再證有一組鄰邊相等.

例1 如圖1,四邊形ABCD是正方形,分別過點A?C作l1?l2,l1∥l2.作BM⊥l1于點M,DN⊥l1于點N.ND?MB的延長線分別交l2于點P?Q.求證:四邊形PQMN是正方形.

解析 由PN⊥l1和QM⊥l1可知PN∥QM.因為PQ∥NM,∠QMN=90°,所以四邊形PQMN是矩形.又因為∠BAD=90°,所以∠1+∠3=90°.又∠1+∠2=90°,所以∠2=∠3.而AB=DA,所以有Rt△ABM≌

Rt△DAN(AAS), 得AM=DN.同理,AN=DP.故AM+AN=DN+DP,即MN=PN.所以四邊形PQMN是正方形.

點評:解決此題的關鍵是先證明四邊形是矩形,再證它的一組鄰邊相等.這是判定正方形常用的方法之一.此外,△ABM≌△DAN的證法也值得重視.

方法二 先證四邊形是菱形,再證它的一個內角是直角.

例2 如圖2,正方形CEFG的邊CG在正方形ABCD的邊CD上.點K是BC邊上一點,點H在CD的延長線上,滿足BK=CG=DH.連接AK?KF?FH?HA.求證:四邊形AKFH是正方形.

解析 由已知條件易得AB=KE=HG=AD,BK=EF=GF=DH,∠B=∠E=∠FGH=∠HDA=90°,所以由HL得△ABK≌△KEF≌△HGF≌△ADH,得AK=KF=FH=HA.因此,四邊形AKFH是菱形.因為∠2=∠3,∠1+∠3=90°,所以∠1+∠2=∠AHF=90°.故四邊形AKFH是正方形.

方法三 先證四邊形是平行四邊形,再證它的一個內角是直角,并且有一組鄰邊相等.

例3 如圖3,在正方形ABCD中,點E?F?G?H分別在邊AB?BC?CD?DA上,滿足AE=BF=CG=DH.AF分別交DE?BG于點M?N,CH分別交BG?DE于點P?Q.求證:四邊形MNPQ是正方形.

解析 因為DH=BF,且易知ADBC,所以AHFC,從而四邊形AFCH是平行四邊形,所以AF∥CH.同理,DE∥BG.所以四邊形MNPQ是平行四邊形.易證△ADE≌△DCH(SAS),所以∠ADE=∠DCH,則∠DCH+∠EDC=∠ADE+∠EDC=90°.故∠DQC=90°.因此可知∠EQP=90°.易證△AMD≌△DQC,△DHQ≌△CGP,故DM=CQ,DQ=CP,則DM-DQ=CQ-CP,即QM=PQ.故四邊形MNPQ是正方形.

點評:解決此題的關鍵是,先證明四邊形是平行四邊形,再證它的一個內角是直角(或一組鄰角相等),從而得知這個四邊形是矩形,最后證它的一組鄰邊相等,于是證得這個四邊形是正方形.由此可見,方法三是方法一和方法二的組合.

注:本文中所涉及到的圖表?注解?公式等內容請以PDF格式閱讀原文