金枝煥

數(shù)學習題浩瀚無邊,問題又可變式發(fā)散,這樣習題就林林總總,題量就千千萬萬,但是蘊涵在問題中的數(shù)學思想方法總是永恒不變的,它是數(shù)學的精髓,是解決問題的有效手段,是制勝的法寶,本文利用有理數(shù)的意義及運算為載體,結(jié)合一些常見的數(shù)學思想方法來簡要解答一下習題中經(jīng)常出現(xiàn)的數(shù)學問題.

一?轉(zhuǎn)化思想

所謂“轉(zhuǎn)化思想”就是將“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”,將“新知識”轉(zhuǎn)化為“舊知識”,將“復(fù)雜問題”轉(zhuǎn)化為“簡單問題” ,轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學問題的常見思想方法.

例1 計算:5 - - ÷ -1.

按運算順序,先算括號里的,需要通分,這樣比較麻煩,把后面的除法轉(zhuǎn)化為乘法,利用分配律解答比較簡單.

解:原式= --÷ -

= × -- × - -× -

=-3 ++

=-2.

(1)本題利用除法法則,把除法轉(zhuǎn)化為乘法,利用運算律使運算簡單.

(2)有理數(shù)運算中減法轉(zhuǎn)化為加法,也體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想.

二?分類討論思想

有時將問題看成一個整體時,則無從下手,若分而治之,各個擊破,則能柳暗花明.分類討論正是這一種思想,也是一種重要的數(shù)學思想方法,為了解決問題,將問題所涉及的對象不遺漏地分成若干類問題,然后逐一解決,從而達到最終解決整個問題的目的.

本章中相反數(shù)?絕對值?有理數(shù)乘方?運算符號法則,有理數(shù)的意義都用到了分類的思想.

例2 已知a-2 = 2,a + b = 4,則ab=.

由a-2 = 2,可知a - 2 = 2或a - 2 = -2.故a = 4或a = 0.由a + b = 4可知,當a = 4時,b = 0時;a=0時,b = 4.所以ab = 0.

例3 在-(+4)?-??-(-1)?0?--中,負數(shù)有個,是,非負數(shù)有個,是.

數(shù)可以分為非負數(shù)和負數(shù)兩大類,非負數(shù)包括正數(shù)和0.-(+4)?-?--是負數(shù),?-(-1)?0是非負數(shù).

解:3 - (+4)?-?-- 3 ?-(-1)?0

分類必須遵循以下兩條原則:(1)每一次分類都要按同一個標準進行;(2)不重復(fù),不遺漏.

三?數(shù)形結(jié)合思想

“數(shù)無形,少直觀;形無數(shù),難入微”,利用“數(shù)形結(jié)合”,可以使所要研究的問題化難為易,化繁為簡.

例4 寫出絕對值小于3的所有整數(shù).

根據(jù)絕對值的幾何意義,絕對值小于3的數(shù)就是在數(shù)軸上到原點的距離小于3的數(shù),如圖1.

圖1

解:其中的整數(shù)有:-2,-1,0,1,2.(數(shù)形結(jié)合,直觀簡便)

將數(shù)量關(guān)系輔助以圖形,則更加具體直觀?簡便,從而快速得到問題的答案.

注:本文中所涉及到的圖表?注解?公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文