黃繼蒼

根據上節(jié)所學內容，并由實際問題出發(fā)，本節(jié)引入了無理數，從而將數的概念從有理數擴展到了實數.實數是進一步學習數學的基礎，是本章的又一重點.現以本節(jié)及本章的典型習題為例，分類解讀如下，供同學們學習時參考.

一、實數與數軸

例1（1）如圖1，數軸上表示數 的點是.

（2）如圖2，數軸上點P表示的數可能是（）.

Ａ． Ｂ． - 3.2 Ｃ． - Ｄ． -

（3）如圖3，數軸上表示1， 的對應點為A、B，點B關于點A的對稱點為C，則點C所表示的數是（）.

A. 2 - B.- 2

C. - 1 D. 1 -

解析：（1）點B.

（2）C.

（3）依題意，得CA = AB =- 1，

∴OC = OA - CA = 1 - （ - 1） = 2 - .故應選A.

點評：利用估算或借助計算器可迅速獲得（1）“由數尋點”，（2）“由點找數”的結果；第（3）題要注意數形結合，利用中心對稱圖形的性質.從本題可體會到數軸上的點并不都表示有理數，有理數和數軸上的點不是一一對應的，從而加深對“實數與數軸上的點是一一對應的”這一性質的認識.

二、實數的分類

例2把下列實數按要求進行分類.

-， ，0.3， ±， ， -， 3.14， ， ，0.212 112 111 211 112…，5.181 881 888，0.

有理數：；

無理數：.

解析：實數可分為有理數和無理數兩類，根據有理數（整數與分數）與無理數的意義進行分類.

有理數：0.3， ±， -， 3.14， ，5.181 881 888，0；

無理數： -， ， ， ，0.212 112 111 211 112….

點評：判斷一個實數是有理數還是無理數，要根據其結果，而不是看它的形式.例如帶根號的數不一定是無理數， ± =±就是有理數中的分數；寫成分數形式的 ， 不是有理數中的分數，而是無理數.對無理數要抓住“無限”與“不循環(huán)”這兩個特征，缺一不可.課本中學習的無理數主要是：①被開方數是開方開不盡的數，如 ， 等；②特定意義的數，如圓周率π；③還有一類是特定結構的無限不循環(huán)小數，如0.212 112 111 211 112….注意5.181 881 888是一個有限小數，屬于有理數中的分數.

三、實數的計算

例3求值：+ - |π - |.（精確到0.01）

解析：可直接一次用計算器計算，最后按題目要求寫出結果.原式≈2.17.

點評：有理數的運算性質及運算律在實數范圍內仍然適用.用計算器求一個數的立方根時，應先按第二功能鍵，再按書寫順序按鍵.

四、本章亮點題

所謂“亮點題”，就是試題回歸課本，突出基礎，但題目的形式與提出問題的方式較為新穎或有所創(chuàng)新，體現一定的開放性與靈活性，體現對同學們能力的考查，體現新課程標準的基本理念.現以《數的開方》一章中的試題為例介紹如下.

1． 開放題

例4寫出一個有理數和無理數，使它們都是大于 - 2的負數：.

解析：答案不唯一，如 - 1和 -等.

點評：這類試題對培養(yǎng)同學們的發(fā)散思維能力，概念辨析能力都十分有益.

2． 類比聯想題

例5聯想學過的平方根與立方根的意義，試求 ± = ，=.

解析：聯想學過的平方根與立方根的意義，不難想到 ±應該表示625的四次方根，因為（ ± 5）= 625，所以 ± =± 5；應該表示 - 32的五次方根，因為（ - 2） = - 32，所以= - 2.

點評：開方的結果叫方根，《數的開方》一章中我們只學習了最簡單的開平方與開立方，同學們如能通過學習、類比平方根與立方根，了解四次方根、五次方根，乃至n次方根的意義、性質及求法，才是新課程標準所希望的.

3． 新定義題

例6定義運算“@”的運算法則為:x @ y =，則（2 @ 6）@ 8 =.

解析：根據所給的運算法則，原式 = @ 8 = 4 @ 8 = =6.

點評：解這類題的關鍵，是讀懂題意，利用轉化這一重要的數學思想，把題目中新定義的運算法則，轉化為我們學過的常規(guī)運算問題.

4． 探求規(guī)律題

例7圖4中的螺旋形由一系列等腰直角三角形組成，其序號依次為①、②、③、④、⑤、…，則第n個等腰直角三角形的斜邊長為.

解析：由圖知，前4個等腰直角三角形的斜邊長依次為 、=、=、=，因此，不難猜想第n個等腰直角三角形的斜邊長為 .

例8用計算器計算， ，，…，請你猜測的結果為.

解析： 用計算器計算所給的三個算式，得= 10， = 100，= 1 000.

所以 =.

點評：探求規(guī)律的試題，是近年命題的一個熱點.通過觀察所給的算式，由特殊到一般進行分析、猜想、歸納，這是一種合情推理，有時還需要進行邏輯推理等探索過程.

5． 閱讀理解題

觀察以上計算結果，完成下列問題：

（1）（a為實數）一定等于a嗎？你發(fā)現了其中的規(guī)律了嗎？試用合適的語言描述出來.

（2）利用你總結的規(guī)律，化簡 +（其中2 ＜ x ＜3）.

（3）實數a、b在數軸上的位置如圖5，化簡+ + |a + b|.

解析： 6，6，0，， .

（1） （a為實數）不一定等于a，其規(guī)律可用數學式子表達為 = |a|.

（2）因為2 ＜ x ＜ 3，所以x - 2 ＞ 0，x - 3 ＜ 0.故原式 = |x - 2| + |x - 3| =x - 2+3 - x = 1.

（3）觀察數軸可知，a ＜ 0，b ＞ 0，a + b ＜ 0，故原式 = - a+b+（ - a - b） =

- 2a.

點評：本題以幾道計算題為切入點，讓同學們通過計算、觀察，歸納出一般結論，再用所得的結論解決問題.考查了大家的閱讀能力、歸納能力及應用所學知識解決問題的能力，滲透了由特殊到一般，再由一般到特殊的認識事物的一般規(guī)律.

1. 課本中為說明數軸上的點并不都表示有理數，利用“邊長為1的正方形的對角線為 ”，在數軸上找到了無理數所表示的點，如圖6.那么這種利用圖形直觀說明問題的方式，體現的數學思想方法叫（）.

Ａ． 代入法 Ｂ． 換元法

Ｃ． 數形結合 Ｄ． 分類討論

2. 在 -， ，π， - 1.010 010 001， 中，無理數的個數是（）.

A． 1B． 2C． 3D． 4

3.求下列各式的絕對值與相反數.

（1）1.73 -.（2）3.142 - π.

4. 用開平方或開立方的方法求下列各式中的x.

（1）（x+ 2）2 = 100.（2）（2 - x）3 + = 0.

5. 求值：+ - π.（保留兩位小數）L

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”