劉志鳳

由中招命題人員巧妙設(shè)計(jì)、精心推敲而成的中招試題，以其精準(zhǔn)、新穎的特點(diǎn)受到師生們的青睞，若能抓住一些典型題目，深入研究，多進(jìn)行變式訓(xùn)練，將能使學(xué)生更深刻、更系統(tǒng)地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問題、解決問題的能力.現(xiàn)舉例探討如下.

例題 （2006年德州市中考題）兩個(gè)全等的含30°和60°角的三角板ADE和三角板ABC如圖1所示放置，E，A，C三點(diǎn)在一條直線上，連接BD，取BD的中點(diǎn)M，連接ME，MC．試判斷△EMC的形狀，并說(shuō)明理由．

解：△EMC的形狀是等腰直角三角形．證明如下.

連接AM.由題意可得DE=AC，∠DAE+∠BAC=90°.

∴∠DAB=90°.

又∵DM=MB，所以MA= DB=DM，∠MAD=∠MAB=45°.

∴∠MDE=∠MAC=105°，∠DMA=90°.

∴△EDM≌△CAM.

∴∠DME=∠AMC，EM=MC.

又∠DME+∠EMA=90°，故∠EMA+∠AMC=90°.

∴CM⊥EM.所以△EMC的形狀是等腰直角三角形.

變式1 在圖1中，連接AM得到圖2.已知ME，MC分別交AD，AB于P，Q，連接PQ.

（1） 判斷線段AM與線段BD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（2） 判斷△PMQ的形狀，并說(shuō)明理由.

（3） 點(diǎn)D，E，A，M是否在同一個(gè)圓上？點(diǎn)B，C，A，M呢？

評(píng)析： 完成一道題目后，多問幾個(gè)為什么，多觀察、多思考，其意義將遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)做題本身.

變式2 在圖2中，令△EMC繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，則通過(guò)對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程的探究，可順利解決下面兩例中招題.

1. （2006年聊城市）如圖3，在等腰Rt△ABC中，P是斜邊BC的中點(diǎn)，以P為頂點(diǎn)的直角的兩邊分別與邊AB，AC交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF．當(dāng)∠EPF繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A，B重合），△PEF也始終是等腰直角三角形，請(qǐng)你說(shuō)明理由．

2. （2007年臨沂市）如圖4（1），已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一塊含30°角的直角三角板DEF的直角頂點(diǎn)D放在AC的中點(diǎn)上（直角三角板的短直角邊為DE，長(zhǎng)直角邊為DF），將直角三角板DEF繞D點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．

（1） 在圖4（1）中，DE交AB于M，DF交BC于N．

① 證明DM=DN；

② 在這一旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形DMBN.請(qǐng)說(shuō)明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化.若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明是如何變化的；若不發(fā)生變化，求出其面積.

（2） 繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖4（2）的位置，延長(zhǎng)AB交DE于M，延長(zhǎng)BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3） 繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖4（3）的位置，延長(zhǎng)FD交BC于N，延長(zhǎng)ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立？請(qǐng)寫出結(jié)論，不用證明．

變式3 在例題中，令三角板BAC繞點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（為簡(jiǎn)單起見，令旋轉(zhuǎn)角不大于90°），如圖5.

（1） ∠EM′C′的大小與∠EMC相比是否發(fā)生了變化？若發(fā)生了變化，說(shuō)明如何變；若沒有變，說(shuō)明理由.

（2） 以D，E，A，M′為頂點(diǎn)的四邊形能否成為矩形？若能，請(qǐng)說(shuō)出旋轉(zhuǎn)角；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

評(píng)析： 運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化思想，是這幾年中考命題的主軸，我們應(yīng)注意平時(shí)的訓(xùn)練.

變式4 如圖6，將圖1中三角板AED和ACB分別沿AD，AB翻折至△ADE′，△ABC′，連接ME′，MC′，試判斷△ME′C′的形狀，并說(shuō)明理由．

變式5 將例題中條件“兩個(gè)含30°角的三角板”改為“兩個(gè)全等的任意直角三角形紙片”，其他條件不變，如圖7.不妨令∠DAE≤45°，則變式1中的結(jié)論是否仍然成立？

評(píng)析： 這種放寬條件將結(jié)論推廣的問題，也是近幾年中考命題的一個(gè)重要方向.

變式6 如圖8（1），直線l過(guò)等腰Rt△DAB的直角頂點(diǎn)A，過(guò)D，Ｂ分別作DE⊥l于E，BC⊥l于C.

（1） 試判斷△DEA和△BCA是否全等，并說(shuō)明理由.

（2） 當(dāng)直線l繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向，由圖8（1）旋轉(zhuǎn)到如圖8（2）所示位置時(shí)，（1）中結(jié)論是否成立？為什么？

（3） 在（2）中，連接CD，BE，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形能成為等腰梯形嗎？為什么？

（4） 試說(shuō)明在（2）的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，DE2+BC2的值為定值.

評(píng)析： 由這道題我們可以看出，有些題目看似相互無(wú)關(guān)，實(shí)際是圖形按一定規(guī)則演變的結(jié)果.做題時(shí)能看透這一點(diǎn)，會(huì)快速準(zhǔn)確地解答.

綜上可以看出，從題目的條件、結(jié)論、背景等方面入手，對(duì)原題加以改造創(chuàng)新，既有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，又使學(xué)生在觀察探究中，進(jìn)一步明晰問題的來(lái)龍去脈，優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，達(dá)到事半功倍的學(xué)習(xí)效果.

變式訓(xùn)練提示或答案

變式1 （1） 由AM是Rt△DAB斜邊上的中線，可知AM垂直平分線段BD.

（2） △PMQ為等腰直角三角形.證∠PMQ=90°及△DMP≌△AMQ，可得MP=MQ.

（3） 取AD的中點(diǎn)O，則易證OE=OD=OA=OM.同理點(diǎn)B，C，A，M也共圓.

變式2 1. 證明方法同變式1的第（2）小題.

2. （1） ① 連接DB．證△BMD≌△CND或△ADM≌△BDN，可得DM=DN．

② 四邊形DMBN的面積不發(fā)生變化.由①知S△BMD =S△CND .

∴S四邊形DMBN =S△DBN +S△DMB =S△DBN +S△DNC =S△DBC = S△ABC = .

（2） DM=DN仍然成立，證明略.

（3） DM=DN仍成立．

變式3 （1） 在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，始終有∠EM′C′=90°.由變式1中第（3）小題知M′，A，E，D四點(diǎn)共圓，∠ADE=∠AM′E.同理M′，A，C′，B′四點(diǎn)共圓，∠AM′C′=∠AB′C′，所以∠EM′C′=∠AM′E+∠AM′C′=∠ADE+∠AB′C′=90°.

（2）能.當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為30°，即∠DAB′=120°時(shí)，易得∠EAM′=90°.又因∠DEA=90°，∠AM′D=90°，所以四邊形DEAM′為矩形.

變式4 △ME′C′為等腰直角三角形，證△ME′D≌△MC′A可得.

變式5 結(jié)論仍成立.

變式6 （1） 全等，理由略.

（2） 成立.

（3） 不能.因DE∥BC，若DE=BC，則四邊形BCDE為平行四邊形，不是等腰梯形；若DE≠BC，由DC= ，BE= ，可知DC≠BE.

（4） 在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，有DE2+BC2=DE2+AE2=AD2，由AD為定值，可知DE2+BC2為定值.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/p>