戈秀英

函數(shù)的值域就是函數(shù)值的取值范圍，求函數(shù)值域是重點，更是難點.學(xué)生對函數(shù)值域的問題常感到頭疼.下面通過典型例題說明求函數(shù)值域的幾種方法.

一、常見函數(shù)的值域

一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的值域為R.

二次函數(shù)y=ax２+bx+c（a≠0），當(dāng)a>0時，值域是[4ac-b２，+∞）；當(dāng)a<0時，值域為（-∞， 4ac-b２].

指數(shù)函數(shù)y=aｘ（a＞0且a≠1）的值域為R.

對數(shù)函數(shù)y=ｌｏｇaｘ（a>0且a≠1）的值域為R.

正余弦函數(shù)的值域為[-1，1]，余切函數(shù)的值域為R．

二、求函數(shù)值域的方法

1．逆求法．主要適用于形如y=（c不為０）的函數(shù)，通過求函數(shù)反函數(shù)的定義域來確定函數(shù)的值域.

例1求y=的值域.

解:由y=解出x，得x=. ∵ 2y+1≠0，故函數(shù)的值域為y≠且y∈R.

2．分離常數(shù)法．主要適用于具有分式形式的函數(shù)解析式，通過變形將函數(shù)化成y=a+的形式.

例2求函數(shù)y=的值域.

解:由y=得y=1+. ∵ -1≤sinx≤1 ， ∴ -≤y≤-，即函數(shù)的值域是[-，-].

評注：此題也可把函數(shù)轉(zhuǎn)化為sinx=f（y）的形式，則-1≤f（y）≤1確定值域.

3．判別式法．能轉(zhuǎn)化為ａ（y）ｘ２+ｂ（y）ｘ+ｃ（y）=0的函數(shù)常用判別式法.主要適用于形如y=（a，d不同為零）的函數(shù).

例3求函數(shù)y=的值域.

解:由 y=去分母得（y-1）x２+（1-y）x+y=0. （＊）

∵y=1時，方程（＊）無解，∴ y≠1.又 ∵ x∈R ∴ 方程（＊）的判別式?駐=（1-y）２-4y（y-1）≥0（y≠1），解得函數(shù)的值域是[-，1）.

評注:在由?駐≥0且a（y）≠0求出y的最值后，要檢驗這個最值在定義域內(nèi)是否有相應(yīng)的x值.

4．配方法．形如二次函數(shù)或 y=af２（x）+bf（x）+c （a≠0）的函數(shù)常用配方法.

例4求函數(shù)y=sin２x+4cosx+1的值域.

解: y=-cos２x+4cosx+2=-（cos２x- 4cosx+4）+6=-（cosx-2）２+6

當(dāng)cosx=-1時，ymin=-3; 當(dāng)cosx=1時，ymax=5．所以函數(shù)的值域是[-3，5].

評注:利用配方法時，注意f（x）的取值范圍.

5． 均值不等式法．利用基本不等式求出函數(shù)的最值進而確定函數(shù)的值域，要注意滿足“一正、二定、三等”.

例5求函數(shù)y=x （-3＜x＜0）的值域.

解: y=x=-≥-[]=-.

當(dāng)且僅當(dāng)x２=9-x２，即x=-時取等號，所以函數(shù)的值域是[-，+∞）.

評注:利用均值不等式求最值應(yīng)驗證等號成立的條件.

6．換元法．通過整體換元法（形如y=ax+b+的函數(shù)）或三角換元法（形如y=ax+的函數(shù)）把無理函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等超越函數(shù)轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)求函數(shù)值域的方法.

例6求函數(shù)y=x-的值域．

解：令t=（t≥0），則x=t２+1，y=t２-t+1=（t-）２+.

當(dāng)t=時，ymin=，y沒有最大值， 所以函數(shù)的值域是[，+∞）．

評注:應(yīng)用換元法時，須注意新元的范圍.

此外，還有數(shù)形結(jié)合法和導(dǎo)數(shù)法等．

遇到求函數(shù)值域的問題，應(yīng)首先考慮有哪幾種基本方法，有的題目可用幾種方法求解，在多種方法中選出最優(yōu)方法.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文