鄭潔芳

一、重點(diǎn)和難點(diǎn)

1. 重點(diǎn)：成比例線段、黃金分割的定義，相似多邊形、相似三角形以及位似圖形的判別方法和性質(zhì)．

2. 難點(diǎn)：線段成比例問(wèn)題，正確找出相似三角形的對(duì)應(yīng)元素，靈活選擇不同的判定方法和性質(zhì)解決相似三角形的相關(guān)問(wèn)題和實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題．

二、知識(shí)精析

1. 正確理解比例的性質(zhì)：①若=，則ad=bc；②若=，則b2=ac；③若=＝…＝，且b＋d＋…＋n≠0，則=＝…＝＝．

2. 在理解相似多邊形時(shí)，應(yīng)注意：①兩個(gè)邊數(shù)不相同的多邊形一定不相似；②兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，必須同時(shí)具備對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例這兩個(gè)條件時(shí)才能相似.

3. 相似三角形：

（1）定義 三角對(duì)應(yīng)相等、三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.

（2）判定方法 除掌握課本上介紹的三種判定方法外，還應(yīng)注意以下事實(shí)（它們?cè)诮庥嘘P(guān)的選擇題、填空題時(shí)可直接應(yīng)用）：①平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；②直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形都相似.

（3）性質(zhì) 對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例；對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線以及周長(zhǎng)的比都等于相似比；面積的比等于相似比的平方.

（4）應(yīng)用 利用相似三角形的有關(guān)性質(zhì)測(cè)量、計(jì)算那些不易直接測(cè)量的物體的寬度或高度.

4. 黃金分割：若點(diǎn)C將線段AB分成AC和BC，且=時(shí)，則點(diǎn)C稱為線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比．這時(shí)，AC∶AB=∶1≈0.618∶1，即AC≈0.618AB或AC=

AB.

5. 位似圖形：這是特殊的相似圖形（每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)——位似中心），具有相似圖形的所有性質(zhì)．利用位似的方法可以將一個(gè)圖形放大或縮小．需要注意的是，確定一個(gè)圖形的位似圖形的位置的主要因素是位似中心和位似比．畫(huà)一個(gè)圖形的位似圖形，關(guān)鍵在于畫(huà)出圖形上的特殊點(diǎn)經(jīng)過(guò)位似變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后順次連接這些對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可得到位似圖形.

6. 思想方法：領(lǐng)悟并掌握類比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、一般到特殊以及分類討論的思想方法.

三、解題技巧

例1 如圖1，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD，AC與BD相交于點(diǎn)E，AE=2，CE=4，求AB的長(zhǎng).

解析：由AB=AD，有∠ABD=∠ADB．又易知∠ABD=∠ACD，所以∠ADB=∠ACD．從而△ADE∽△ACD，=，即AD2=AC·AE=（2+4）×2=12，故AB=AD==2．

評(píng)注：利用相似形求線段的長(zhǎng)是解題中常用的方法．本題中成比例線段和相似形較多，關(guān)鍵是根據(jù)條件，選擇合適的相似三角形．

例2 如圖2，在一個(gè)3×5的單位正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C在小正方形的頂點(diǎn)上．請(qǐng)你在圖中畫(huà)一個(gè)△A′B′C′，使△A′B′C′∽△ABC（相似比不為1），而且點(diǎn)A′、 B′、 C′都在小正方形的頂點(diǎn)上.

解析：由圖中信息知∠ABC=135°，AB∶BC=1∶．由此可知，所畫(huà)三角形也必有一角為135°，且?jiàn)A該角的兩邊之比為1∶（也可以把這一比值看作∶2或2∶2等）．以此為突破口，在圖中連出長(zhǎng)為和2，2和2，和的線段，即得△DEA∽△AMN∽△DGF∽△ABC（如圖3所示）.

評(píng)注：在判定三角形相似時(shí)，要靈活應(yīng)用判定方法．本題若運(yùn)用“兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”，則解題過(guò)程較復(fù)雜.

例3 如圖4，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，則PE+PF的值為（）．

A． B． 2C． D．

解析：由于PE＋PF的值是確定的，可采用特殊點(diǎn)法求．為此可將點(diǎn)P移到點(diǎn)D位置，過(guò)D作DQ⊥AC于Q（如圖5），則PE＋PF＝DQ．易證Rt△ADQ∽R(shí)t△ACD，故＝，即DQ＝＝．所以PE＋PF＝DQ＝．故應(yīng)選A．

評(píng)注：本題也可利用△AEP∽△ADC，△DFP∽△DAB，先求出AP和DP（分別以PE、PF表示），然后利用AP ＋ DP＝4求解．

例4 如圖6，已知?ABCD中，＝．

（1）求△AEF與△CDF的周長(zhǎng)之比；

（2）如果S△AEF＝6 cm2，求S△CDF ．

解析：（1）由＝，知＝．又由平行四邊形性質(zhì)知AB＝CD，所以＝＝．由AB∥CD知△AEF∽△CDF，所以，△AEF的周長(zhǎng)∶△CDF的周長(zhǎng)＝AE∶CD＝1∶3．

（2）由△AEF∽△CDF，有S△AEF ∶ S△CDF＝1 ∶ 9．又S△AEF＝6 cm2，所以S△CDF＝6×9＝54（cm2）．

評(píng)注：本題在求相似比時(shí)，通過(guò)運(yùn)用平行四邊形的特性巧妙地把線段的比轉(zhuǎn)化成相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比．

例5 如圖7，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝4 cm．點(diǎn)Q與P同時(shí)分別從B、C兩點(diǎn)開(kāi)始向C、A兩點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，速度分別為1 cm ／ s和2 cm ／ s，問(wèn)：經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間后△CPQ與△ABC相似？

解析：設(shè)x s后△CPQ與△ABC相似，則CQ＝（4－x） cm，CP＝2x cm．因∠C＝90°為公共角，故△CPQ與△ABC相似應(yīng)分兩種情況：

（1）若PQ∥AB，則有△CPQ∽△CAB，這時(shí)＝，

所以＝，解得x＝2．

（2）當(dāng)∠CAB＝∠CQP時(shí)，則有△CPQ∽△CBA，＝，所以＝，解得x＝．

因?yàn)檎麄€(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程歷時(shí)4 s，故上面兩種情況均能出現(xiàn)．

∴ 經(jīng)過(guò)2 s或 s后△CPQ與△ABC相似．

評(píng)注：本題運(yùn)用了方程思想和分類討論思想．當(dāng)有關(guān)量不能直接計(jì)算時(shí)，可設(shè)未知數(shù)，列方程（組）求解；當(dāng)相似圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定時(shí)，應(yīng)進(jìn)行分類討論．

四、易錯(cuò)點(diǎn)直擊

1． 混淆對(duì)應(yīng)關(guān)系出錯(cuò)．

例6 如圖8，小亮同學(xué)某天晚上由路燈A走向路燈B，當(dāng)他走到P點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)他的影子的最前端正好接觸路燈B的底部，這時(shí)他離路燈A為25 m，離路燈B為5 m．如果小亮的身高DP為1．6 m，那么路燈A的高度CA為（）．

A． 6．4 m B． 8 m C． 9．6 mD． 11．2 m

錯(cuò)解：由題設(shè)有∠A＝∠DPB＝90°，又∠DBP＝∠CBA，所以△BDP∽△BCA，故＝，即＝．解得CA＝8 m，故應(yīng)選B．

剖析：本題的錯(cuò)誤出在＝上．當(dāng)△BDP∽△BCA時(shí)，BP的對(duì)應(yīng)邊應(yīng)該是BA，而不是PA．

正解：由△BDP∽△BCA，有＝，即＝．解得CA＝9．6 m，故應(yīng)選C．

2． 性質(zhì)應(yīng)用不當(dāng)出錯(cuò)．

例7 如圖9，△ABC中，DE∥BC，S△ADE∶S△ABC＝4∶9，求：（1）AE∶EC；（2）S△ADE∶S△CDE．

錯(cuò)解：（1）由DE∥BC，有△ADE∽△ABC，所以 ＝

2＝，＝．于是＝2．

（2）由＝2，有＝

2＝4．

剖析：（2）中由于△ADE與△CDE不一定相似，故不能運(yùn)用＝

2來(lái)計(jì)算．

正解：（1）同上．

（2）如圖10，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于F，則S△ADE＝DF·AE，S△CDE＝DF·EC．故 ＝＝2，即為所求．

五、相關(guān)中考題鏈接

1． （寧波市）如圖11，△ABC與△DEF是位似圖形，位似比為2∶3．已知AB＝4，則DE的長(zhǎng)是（）．

A． 6 B． 5 C． 9D．

2． （陜西）如圖12，矩形ABCG（AB＜BC）與矩形CDEF全等，點(diǎn)B、C、D在同一條直線上．∠APE的頂點(diǎn)P在線段BD上移動(dòng)，使∠APE為直角的點(diǎn)P有（）個(gè)．

A． 0 B． 1C． 2 D． 3

3． （棗莊市）如圖13，路燈高8 m．身高1．6 m的小明從距離路燈的底部（點(diǎn)O）20 m的點(diǎn)A處，沿AO所在直線行走14 m到達(dá)點(diǎn)B處，這時(shí)人影BN的長(zhǎng)度較原來(lái)人影AM的長(zhǎng)度（）．

A． 增加3．5 mB． 增加2．5 mC． 縮短3．5 mD． 縮短2．5 m

4． （錦州市）點(diǎn)P是△ABC中AB邊上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似．滿足這樣條件的直線最多可以作 條．

5． （河南）要拼出和圖14中的菱形相似且較長(zhǎng)對(duì)角線長(zhǎng)為88 cm的大菱形（如圖15所示），需要圖14中的菱形個(gè)．

6． （樂(lè)山市）如圖16，在邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD中，M是邊AD的中點(diǎn)．能否在AB上找到點(diǎn)N（不包括A、B），使得△CDM與△MAN相似？若能，請(qǐng)給出證明；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

7． （內(nèi)江市）如圖17，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊的中點(diǎn)．順次連接E、F、G、H，把四邊形EFGH稱為中點(diǎn)四邊形．容易證明：中點(diǎn)四邊形EFGH一定是平行四邊形．連接AC、BD．

（1）如果改變?cè)倪呅蜛BCD的形狀，那么中點(diǎn)四邊形的形狀也隨之改變．通過(guò)探索可以發(fā)現(xiàn)：

當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足 時(shí)，四邊形EFGH為菱形；

當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足 時(shí)，四邊形EFGH為矩形；

當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足時(shí)，四邊形EFGH為正方形．

（2）探索△AEH、△CFG與四邊形ABCD的面積之間的關(guān)系．請(qǐng)寫(xiě)出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并加以證明．

（3）如果四邊形ABCD的面積為2，試求中點(diǎn)四邊形EFGH的面積．

相關(guān)中考題鏈接參考答案

1． A2． C3． C4． 45． 1216． 當(dāng)AN＝a時(shí)，△CDM∽△MAN．證明略． 7． （1）AC＝BD AC⊥BD AC⊥BD且AC＝BD （2）S△AEH＋S△CFG＝S[四邊形]ABCD ．證明：在△ABD中，EH∥BD且EH＝BD， 故△AEH∽△ABD， ＝

2＝．即S△AEH＝S△ABD ．同理可證S△CFG＝S△CBD ． 所以S△AEH＋S△CFG＝（S△ABD＋S△CBD）＝S[四邊形]ABCD ．（3）由（2）的結(jié)論，S△AEH＋S△CFG＝S[四邊形]ABCD．同理也有S△BEF＋S△DHG＝S[四邊形]ABCD．于是S[四邊形]EFGH＝S[四邊形]ABCD ＝1．