呂前桂

一、重點和難點

1. 重點：正確認(rèn)識和掌握分式的有關(guān)概念及性質(zhì)，熟練地進(jìn)行分式的四則運算.

2. 難點：異分母分式加減運算的準(zhǔn)確性，分式方程的解法以及分式知識在解決實際問題中的應(yīng)用.

二、知識精析

1. 對分式的概念，要注意三點：①分式是形如的式子，其中A、B是整式；②分母B中含有字母（這是分式與分?jǐn)?shù)的根本區(qū)別）；③分母B的值不能是0，否則分式?jīng)]有意義.

2. 分式的基本性質(zhì)：=，=（M是不為0的整式）．它是分式運算的重要依據(jù)，要熟練掌握，靈活運用.

3. 分式的符號法則：分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變，用式子表示就是：==－=-.

4. 分式的約分與通分.

約分的關(guān)鍵是確定分子和分母的公因式．當(dāng)分子、分母的系數(shù)是整數(shù)時，約去它們的最大公約數(shù)；約去分子、分母中相同因式的最低次冪．約分后的結(jié)果應(yīng)是最簡分式或整式.

通分的關(guān)鍵是確定最簡公分母（各分母所有因式的最高次冪的積），然后根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將異分母分式化成同分母分式.

5. 分式的除法可化為乘法，減法可化為加法．這是數(shù)學(xué)上常用的轉(zhuǎn)化思想.

6. 解分式方程要注意兩點：一是把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；二是驗根.轉(zhuǎn)化的方法是在方程兩邊同乘以各分式的最簡公分母；解得的根要代入最簡公分母中進(jìn)行檢驗，使最簡公分母為0的根是增根，應(yīng)舍去.

7. 對于應(yīng)用問題，要抓住可用分式表示等量關(guān)系這一點，仔細(xì)分析各種量之間的關(guān)系，靈活設(shè)未知數(shù)．還要注意，所求方程的解要符合實際.

8. 注意數(shù)學(xué)思想的運用．對分式的學(xué)習(xí)，要善于類比分?jǐn)?shù)的有關(guān)知識．類比思想是探究數(shù)學(xué)問題、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的一種重要的思想方法.

三、解題技巧

例1 x取什么值時，的值為0？

解析：依題意，有x-4=0，

x+4≠0，得x=±4，

x≠－4.所以x=4時，原式的值為0.

評注：求解此類問題時，可構(gòu)造方程和不等式．分別求出它們的解或解集，再確定它們的公共部分.

例2 有一道題“先化簡，再求值：

+

÷，其中x=-”，小玲做題時把“x=-”錯抄成“x=”，但她的計算結(jié)果也是正確的，請你解釋這是怎么回事.

解析：原式=·（x2-4）=x2+4．因為當(dāng)x=-或x＝時，x2的值均為3，原式的值都為7，所以把“x=-”錯抄成“x=”，其計算結(jié)果仍是正確的.

評注：本題要求探索外表中所隱藏的本質(zhì)特性．探索的途徑是細(xì)心演算，看原式化簡的最終結(jié)果是什么，然后從中尋找原因.

例3 已知x+=2，求的值.

解析：將已知等式兩邊平方，得x+

2=4，即x2+=2.所以，原式=x2+1+=2+1=3.

評注：本題的關(guān)鍵是根據(jù)求值式的特點，逆向思考．將所求分式分拆為x2+1+，然后由已知條件求出x2+=2，整體代入求值.

例4 若關(guān)于x的方程＝＋2無解，則m的值是 ．

解析：由于原方程無解，所以此方程有增根x=3.將原方程去分母、化簡，整理得m+x-4=0.再將x=3代入其中，求得m=1.

評注：本題根據(jù)分式方程的增根使其最簡公分母的值為0這一特性，巧妙求出了m的值.

例5 若-=3，則分式的值為（）.

A. B. -C.D. 1

解析：由已知得x-y=-3xy.所以，原式===.應(yīng)選C．

評注：根據(jù)求值式和已知條件的特點，采用整體代入法求值，這在分式求值中經(jīng)常應(yīng)用.

例6 某人原計劃完成加工15個機(jī)器零件的任務(wù)，由于改進(jìn)加工技術(shù)，實際加工的效率提高到原來加工效率的1.2倍，結(jié)果提前半小時完成任務(wù)．求實際加工的效率.

解析：設(shè)原來加工的效率為x個/ h，則實際加工的效率為1.2x個/ h．由題意得：=+，解得x=5.經(jīng)檢驗，x=5是原方程的解.而1.2x=6，故實際加工的效率為6個/ h.

評注：不直接設(shè)出要求的未知量，而是設(shè)另一個量作為未知數(shù)，待求出這個量后再計算所求的量，這種方法稱為間接設(shè)未知數(shù)法．它往往能給解題過程帶來極大方便.

例7 請你編一道能用可化為一元一次方程的分式方程來解的應(yīng)用題，并給出解答.

編題要求：①要聯(lián)系生活實際，其解符合實際；②根據(jù)題意列出的分式方程只含兩個分式，不含常數(shù)項，分式的分母均含有未知數(shù)，能化為一元一次方程；③題目完整，題意清楚.

解析：第一，由題意確定一個有實際意義的數(shù)字，如5，把它當(dāng)作所編應(yīng)用題的方程的一個根，并建立一個合乎題設(shè)要求的等式，如=.

第二，把上述等式中的5用未知數(shù)x來代替，變等式為分式方程，即=.

第三，根據(jù)方程編出應(yīng)用題．如：甲、乙兩人加工某種機(jī)器零件，已知甲每小時比乙多加工2個，且甲加工10個所用的時間與乙加工6個所用的時間相等，求甲、乙每小時各加工多少個零件.

第四，解答所編應(yīng)用題．解答略．

評注：本題屬開放型問題，其答案不唯一.

四、易錯點直擊

1． 不該約分時約分而出錯．

例8 當(dāng)x取何值時，分式無意義？

錯解：==，所以，當(dāng)x=2時，分式無意義.

剖析：上解錯誤出在約分這一步．約分約去了分子、分母的公因式，擴(kuò)大了x的取值范圍，從而導(dǎo)致錯誤產(chǎn)生.

正解：由x2-5x+6=0，有（x-2）（x-3）=0，所以x=2或x=3.故當(dāng)x=2或x＝3時，分式無意義.

2． 忽視分?jǐn)?shù)線的括號作用而出錯.

例9 計算：-.

錯解：原式==0.

剖析：運算中沒有注意分?jǐn)?shù)線的括號作用，導(dǎo)致結(jié)果錯誤.

正解：原式===-.

3． 沒按運算順序計算而出錯.

例10 計算：÷·（x-y）.

錯解：原式=÷x=.

剖析：上述解法錯在先算乘法，后算除法，違背了運算順序．在同級運算中，應(yīng)按照從左到右的順序依次進(jìn)行計算．本題應(yīng)先算除法，后算乘法.

正解：原式=··（x-y）=（x+y）（x-y）=x2-y2.

4． 計算時去分母出錯.

例11 計算：+x+y.

錯解：原式=y2+（x+y）（x-y）=y2+x2-y2=x2.

剖析：解分式方程可以去分母，但這里卻將分式計算同解分式方程混為一談．分式計算中當(dāng)分母不同時，應(yīng)該先通分后計算.

正解：原式=+==.

5． 符號變化時出錯.

例12 計算：-a-1.

錯解：原式=-===.

剖析：錯誤出在將“-a-1”看作分母是1的“分式”時，應(yīng)寫成或-，而不是-．上面的錯解顯然忽視了符號變化.

正解：原式=-===.

6． 錯用分配律而出錯.

例13 計算：÷（m-n）-

.

錯解：原式=÷（m-n）-÷=-1=.

剖析：除法沒有分配律，比如a÷（b+c）≠a÷b+a÷c.

正解：原式=÷

=÷

=.

7． 忽略方程可能產(chǎn)生增根而出錯.

例14 已知關(guān)于x的方程-2=有正數(shù)解，求m的取值范圍.

錯解：將原方程去分母，得x-2（x-3）=m.所以x=6-m.又因為原方程有正數(shù)解，所以6-m＞0，即m＜6.

剖析：上面的解法只注意了“正數(shù)解”這一條件，而忽視了分式方程可能產(chǎn)生增根的特點，從而導(dǎo)致出錯.

正解：同上解……因原方程有正數(shù)解，故6-m＞0，且6-m≠3.故m＜6且m≠3.

五、相關(guān)中考題鏈接

1. （天津）已知-=4，則的值為（）.

A. 6 B. -6 C. D. -

2. （黃岡市）計算-÷的結(jié)果為（）.

A. 1 B. C. D.

3. （南寧市）以下是方程-=1去分母后的結(jié)果，其中正確的是（）.

A. 2-1-x=1 B. 2-1+x=1 C. 2-1+x=2x D. 2-1-x=2x

4. （福州市）請在下面的“[”、“]”中分別填入適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式，使等式成立：

5. （連云港市）觀察下列各等式中數(shù)字的特征：-=×，-=×，-=×．將你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含字母a、b的等式表示出來： .

6. （遼寧）先化簡，再求值：＋＋，其中a＝，b＝．

7. （常德市）先化簡代數(shù)式

＋

÷，然后選取一個你喜歡的x的值代入求值.

8. （南通市）某中學(xué)圖書館添置圖書，用240元購進(jìn)一種科普書，同時用200元購進(jìn)一種文學(xué)書．由于科普書的單價比文學(xué)書的單價高50％，因此學(xué)校購買的文學(xué)書比科普書多4本．求文學(xué)書的單價．

9. （北京）解分式方程：

+=2.

10. （長沙市）在社會主義新農(nóng)村建設(shè)中，某鎮(zhèn)決定對一段公路進(jìn)行改造．已知這項工程由甲工程隊單獨做需要40天完成；如果由乙工程隊先單獨做10天，那么剩下的工程還需兩隊合做20天才能完成.

（1）求乙工程隊單獨完成這項工程所需的天數(shù)．

（2）求兩隊合作完成這項工程所需的天數(shù).

相關(guān)中考題鏈接參考答案

1. A2. A3. C4.-（答案不唯一）5. －=·或

－

＝

·6. .7. 原式=x2＋1.代值略（不唯一，但不能為±1）．8. 10元 ／ 本．9. x=3．10. （1）設(shè)乙工程隊單獨完成這項工程需要x天，依題意有：+

+

20=1.解之得x=60.經(jīng)檢驗，x=60是原方程的解.乙工程隊單獨完成這項工程需60天．（2）設(shè)兩隊合作完成這項工程需y天，由題意有：

+

y=1.解得y=24.兩隊合作完成這項工程需24天.