向　東

公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得證明素?cái)?shù)（也叫質(zhì)數(shù)）的數(shù)目是無窮的．2004年，英國劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)教授格林和澳大利亞華裔數(shù)學(xué)家陶哲軒證明：存在任意長度的素?cái)?shù)等差數(shù)列．他們的發(fā)現(xiàn)揭示了素?cái)?shù)中存在的某種規(guī)律．

在數(shù)學(xué)家的眼中，素?cái)?shù)是美麗的，就像原子之于化學(xué)家、DNA之于遺傳學(xué)家．素?cái)?shù)是自然界中全部數(shù)的最基本的構(gòu)成部分．那么究竟什么是素?cái)?shù)呢？也許小學(xué)三年級的學(xué)生就能清楚地回答這個(gè)問題：在正整數(shù)中，除了1以外，只能被自身和1整除的數(shù)就是素?cái)?shù)，比如2，3，5，7，11，13，17，….

美麗的素?cái)?shù)

1，2，3，…是正整數(shù)，其他數(shù)如負(fù)數(shù)、有理數(shù)則都是以正整數(shù)為基礎(chǔ)定義的，所以，研究正整數(shù)的規(guī)律很重要．由于除1以外的任何一個(gè)正整數(shù)均可表示為素?cái)?shù)或素?cái)?shù)的乘積，而且這個(gè)表示是唯一的，所以，研究素?cái)?shù)的性質(zhì)非常重要．但是，要想得到一條關(guān)于素?cái)?shù)的定理是相當(dāng)不容易的．

陶哲軒和格林所證明的“存在任意長度的素?cái)?shù)等差數(shù)列”，恰恰揭示了素?cái)?shù)中存在的某種規(guī)律．

什么是等差數(shù)列呢？這是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)課題．一個(gè)數(shù)列（指按照一定次序排列的一連串?dāng)?shù)，如4，9，25，36，49，…）從第2項(xiàng)起，若后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)所得的差都是一個(gè)相同的常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列就是等差數(shù)列．比如，1，3，5是由3個(gè)數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列，后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)所得的差是2；1，3，5，7則是由4個(gè)數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列，后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)所得的差也是2．

由素?cái)?shù)構(gòu)成的等差數(shù)列又被稱為素?cái)?shù)等差數(shù)列．比如從5開始，以12為間隔常數(shù)，就可以得到數(shù)列5，17，29，41，53，65，….但對這個(gè)數(shù)列來說，只有前5個(gè)數(shù)是素?cái)?shù)，因此，5，17，29，41，53是一個(gè)由5個(gè)素?cái)?shù)構(gòu)成的等差數(shù)列．因?yàn)?5可以被5和13整除，不是素?cái)?shù)，所以這個(gè)特定的素?cái)?shù)等差數(shù)列不可能達(dá)到6項(xiàng)．

問題出現(xiàn)了：由其他素?cái)?shù)構(gòu)成的等差數(shù)列會(huì)更長嗎？答案是肯定的．比如，199，409，619，829，1 039，1 249，1 459，1 669，1 879，2 089就是由10個(gè)素?cái)?shù)構(gòu)成的間隔常數(shù)為210的等差數(shù)列．

事實(shí)上，數(shù)學(xué)家們一直猜想，由素?cái)?shù)構(gòu)成的等差數(shù)列可以任意長． 這個(gè)猜想已經(jīng)提出很久了，以至于沒有人知道它最初是由誰提出來的．但是，在2004年以前，從來沒有數(shù)學(xué)家能夠證明這個(gè)猜想．

永不消失的素?cái)?shù)

到目前為止，已經(jīng)明確找出了由23個(gè)素?cái)?shù)構(gòu)成的等差數(shù)列，而且這還是通過當(dāng)今世界上最先進(jìn)的計(jì)算機(jī)找到的．這個(gè)數(shù)列的第一個(gè)數(shù)是56 211 383 760 397，數(shù)之間的間隔常數(shù)為44 546 738 095 860，數(shù)列的最后一個(gè)數(shù)是56 211 383 760 397 ＋ 44 546 738 095 860 × 22．僅僅看這些素?cái)?shù)的大小，就知道找到它們是多么不容易了．

隨著自然數(shù)數(shù)值的增加，素?cái)?shù)的分布變得越來越稀疏，因而要尋找這樣的素?cái)?shù)等差數(shù)列就越來越困難．但是，素?cái)?shù)是永遠(yuǎn)不會(huì)徹底消失的，素?cái)?shù)有無窮多個(gè)．

盡管在正整數(shù)中，素?cái)?shù)看起來是以一種無規(guī)律的方式出現(xiàn)的，但在19世紀(jì)末，法國數(shù)學(xué)家哈達(dá)瑪達(dá)和比利時(shí)數(shù)學(xué)家法勒布賽曾指明：一種隱藏的規(guī)則存在于素?cái)?shù)逐漸稀疏的背后．換言之，在看似混亂無序的素?cái)?shù)中，一定存在著某種規(guī)律．

偉大的證明

有關(guān)素?cái)?shù)等差數(shù)列猜想的第一個(gè)真正意義上的進(jìn)展出現(xiàn)在1939年．當(dāng)時(shí)，荷蘭的一位數(shù)學(xué)家證明：有無窮多個(gè)由3個(gè)素?cái)?shù)構(gòu)成的等差數(shù)列．

后來，著名數(shù)學(xué)家布朗證明，由前面3個(gè)素?cái)?shù)和后面不超過2個(gè)素?cái)?shù)的乘積構(gòu)成的4個(gè)數(shù)的等差數(shù)列有無窮多個(gè)．

1975年，匈牙利數(shù)學(xué)家施米列迪證明了一個(gè)定理．簡單地解釋，這個(gè)定理的意思就是在任何不會(huì)快速稀疏的無窮的整數(shù)數(shù)列中，肯定會(huì)有任意長度的等差數(shù)列．但施米列迪定理不適合于素?cái)?shù)，因?yàn)?，隨著自然數(shù)數(shù)值的增加，素?cái)?shù)會(huì)突然變得稀疏．

2002年，陶哲軒和格林這兩位數(shù)學(xué)家開始著手證明：有無窮多個(gè)由4個(gè)素?cái)?shù)構(gòu)成的等差數(shù)列．為了證明這個(gè)問題，他們用了兩年多時(shí)間分析施米列迪定理的4個(gè)完整證明．

陶哲軒說：“我們研究施米列迪定理并努力改進(jìn)它，以便使它能解決素?cái)?shù)的問題．為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)，我們借用這4個(gè)證明方法來建造一個(gè)施米列迪定理的擴(kuò)展版．每次當(dāng)格林和我陷入困境時(shí)，其中某個(gè)證明方法的思想總能幫助我們解決問題．”

兩年后，格林和陶哲軒用一個(gè)非常漂亮的方法解決了問題，結(jié)果實(shí)在驚人．2004年4月18日，兩人宣布他們證明了“存在任意長度的素?cái)?shù)等差數(shù)列”，也就是說，對于任意值k，存在由k個(gè)素?cái)?shù)組成的等差數(shù)列．例如k ＝ 3，有素?cái)?shù)數(shù)列3，5，7（間隔常數(shù)為2）；k ＝ 10，有素?cái)?shù)數(shù)列199，409，619，829，1 039，1 249，1 459，1 669，1 879，2 089（間隔常數(shù)為210）．當(dāng)然，對于比較大的k值，盡管現(xiàn)在還沒有具體找出相應(yīng)的素?cái)?shù)數(shù)列，但現(xiàn)在可以肯定地說，這樣的數(shù)列一定存在．

這是一項(xiàng)偉大的成就，他們的證明立即在國際學(xué)術(shù)界引起轟動(dòng)． 隨后出版的美國《科學(xué)》雜志評論說：“兩位數(shù)學(xué)家用數(shù)論中一個(gè)令人眩暈的突破解決了一個(gè)難題．”

美國《發(fā)現(xiàn)》雜志則將格林和陶哲軒在素?cái)?shù)方面的研究評為2004年100項(xiàng)最重要的發(fā)現(xiàn)之一．

中國數(shù)學(xué)家王元在評價(jià)他們的成就時(shí)，由衷地贊嘆道：“我一生都在研究數(shù)論，我不敢想象天下會(huì)有這樣偉大的成就！”

2006年8月22日，在第25屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，為了表彰陶哲軒的杰出貢獻(xiàn)，大會(huì)決定頒發(fā)給陶哲軒和其他三位年輕數(shù)學(xué)家有“數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎(jiǎng)”之稱的國際數(shù)學(xué)界最高獎(jiǎng)——菲爾茨獎(jiǎng)．

【責(zé)任編輯：潘彥坤】

擺線

擺線是數(shù)學(xué)中眾多的迷人曲線之一．它是這樣定義的：一個(gè)圓沿一直線緩慢地滾動(dòng)，則圓周上一固定點(diǎn)所描出的軌跡稱為擺線．

擺線最早可見于公元1501年出版的C.鮑威爾的一本書中．17世紀(jì)，大批卓越的科學(xué)家（如伽利略、帕斯卡、托里拆利、笛卡兒、費(fèi)馬、瓦里斯、約翰·伯努里、萊布尼茨、牛頓等）熱心于研究這一曲線的性質(zhì)．經(jīng)過大家的努力，人們發(fā)現(xiàn)擺線具有如下性質(zhì)：

1．?dāng)[線一拱的長度等于旋轉(zhuǎn)圓直徑的4倍．尤為令人感興趣的是，它的長度是一個(gè)不依賴于π的有理數(shù)．

2．?dāng)[線一拱的弧線下的面積，是旋轉(zhuǎn)圓面積的3倍．

3．圓上描出擺線的那個(gè)點(diǎn)，具有不同的速度．

4．當(dāng)彈子從一個(gè)擺線形狀的容器的不同點(diǎn)放開時(shí)，它們會(huì)同時(shí)到達(dá)底部．

在許多與擺線有連帶關(guān)系的令人迷惘的悖論中，火車悖論格外引人關(guān)注：在任一瞬間，一列移動(dòng)的火車絕不可能整個(gè)地都朝機(jī)車拖動(dòng)的方向移動(dòng)．火車上總有一部分是朝火車運(yùn)動(dòng)的相反方向移動(dòng)！