劉　頓

我們知道，二元一次方程組在實(shí)際生活中有極為廣泛的應(yīng)用，真是生活中處處有數(shù)學(xué)啊.

例1用8塊相同的長(zhǎng)方形地磚拼成一塊長(zhǎng)方形地面，地磚的拼放方式及相關(guān)數(shù)據(jù)如圖1所示，求每塊地磚的長(zhǎng)與寬.

分析：要求每塊地磚的長(zhǎng)與寬，由于這8塊長(zhǎng)方形地磚的大小是相同的，由題目提供的幾何圖形來(lái)看，大長(zhǎng)方形的對(duì)邊相等，所以有這樣兩個(gè)等量關(guān)系：一是一個(gè)小長(zhǎng)方形的寬與一個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)的和為60 cm，二是2個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于一個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與3個(gè)小長(zhǎng)方形的寬的和.這樣設(shè)出未知數(shù)，即可列二元一次方程組求解.

解：設(shè)每塊地磚的長(zhǎng)為x cm，寬為y cm，則根據(jù)題意，得x+y=60，

2x=x+3y.解得x=45，

y=15.

即每塊地磚的長(zhǎng)為45 cm，寬為15 cm.

說(shuō)明：本題的等量關(guān)系都隱含在圖形中，所以掌握幾何圖形的特征，從隱含條件中發(fā)現(xiàn)相等關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

例2小明在拼圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)8個(gè)一樣大小的小長(zhǎng)方形恰好可以拼成一個(gè)大的長(zhǎng)方形，如圖2所示，小紅看見了，說(shuō)：“我來(lái)試一試！”結(jié)果小紅七拼八湊，拼成了如圖3所示的正方形，不過(guò)中間還留下一個(gè)洞，恰好是邊長(zhǎng)為2 mm的小正方形!你能算出每個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是多少嗎？

分析：本題有兩個(gè)未知量，即小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬.觀察圖形得到兩個(gè)等量關(guān)系：由圖2得，長(zhǎng)的3倍等于寬的5倍；由圖3得，長(zhǎng)的2倍+2 mm＝長(zhǎng)+寬的2倍.于是根據(jù)這兩個(gè)等量關(guān)系即可列出方程組求解.

解：設(shè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x mm，寬為y mm.則根據(jù)題意，得3x=5y，

2x+2=x+2y.解得x=10，

y=6.

答：這些小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為10 mm，寬為6 mm.

說(shuō)明：本題巧妙地運(yùn)用了兩個(gè)拼圖，建立起小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的關(guān)系，它體現(xiàn)了數(shù)與形之間的相互關(guān)系，突破了用語(yǔ)言描述兩個(gè)量之間關(guān)系的常規(guī)方法，滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

例3揚(yáng)子江藥業(yè)集團(tuán)生產(chǎn)的某種藥品包裝盒的展開圖如圖4所示.如果長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)比寬多4 cm，求這種藥品包裝盒的體積.

分析：若能求出藥品包裝盒的長(zhǎng)、寬、高，就易得藥品包裝盒的體積.所以本題可間接設(shè)未知數(shù).

解：設(shè)這種藥品包裝盒的寬為x cm，高為y cm，所以長(zhǎng)為（x+4） cm.

則根據(jù)題意，得2x+2y=14，

（x+4）+2y=13.解得x=5，

y=2.

所以x+4＝9.故體積V＝9×5×2＝90（cm3）.

答：這種藥品包裝盒的體積為90 cm3.

說(shuō)明：在求解本題時(shí)，要從圖形出發(fā)，發(fā)揮空間想象力，即由藥品包裝盒的展開圖想象出實(shí)物的模型，從而實(shí)現(xiàn)實(shí)物與展開圖之間的轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題簡(jiǎn)單獲解.

例4如圖5，某紙盒加工廠用邊角料裁出正方形和長(zhǎng)方形兩種硬紙片來(lái)制作甲、乙兩種無(wú)蓋的長(zhǎng)方體小盒，其中長(zhǎng)方形的寬與正方形的邊長(zhǎng)相等.現(xiàn)將150張正方形硬紙片和300張長(zhǎng)方形硬紙片全部用于制作這兩種小盒，如果恰好用完，可以分別做成甲、乙兩種小盒多少個(gè)？

分析：通過(guò)分析題意，可以發(fā)現(xiàn)題目中有兩個(gè)等量關(guān)系：一是做一個(gè)甲種小盒需要4個(gè)長(zhǎng)方形硬紙片，1個(gè)正方形硬紙片；二是做一個(gè)乙種小盒需要3個(gè)長(zhǎng)方形硬紙片，2個(gè)正方形硬紙片.這樣若設(shè)做甲種小盒x個(gè)，乙種小盒y個(gè)，即可列出二元一次方程組求解.

解：設(shè)可以做成甲種小盒x個(gè)，乙種小盒y個(gè)，則根據(jù)題意，得4x+3y=300，

x+2y=150.

解得x=30，

y=60.

答：可做甲種小盒30個(gè)，乙種小盒60個(gè).

說(shuō)明：本題的等量關(guān)系隱含在圖形中，解決問(wèn)題需要認(rèn)真觀察圖形，從圖形中發(fā)現(xiàn)解題信息.

例5如圖6，正方形是由k個(gè)相同的小長(zhǎng)方形組成，上下各有2個(gè)水平放置的小長(zhǎng)方形，中間豎放若干個(gè)小長(zhǎng)方形，則k＝.

分析：要想直接求出k的值，還真的有點(diǎn)難度，但考慮到正方形的對(duì)邊相等，所以若設(shè)每個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x，寬為y，于是根據(jù)對(duì)邊相等，即可找出兩個(gè)相等的關(guān)系式.

解：設(shè)每個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x，寬為y，則根據(jù)題意，得2x=x+2y，

2x=（k-4）y.

由2x＝x+2y，得x＝2y，代入2x＝（k－4）y，得4y＝（k－4）y，解得k＝8.

說(shuō)明：解答本題并沒(méi)有直接求小長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)，但通過(guò)設(shè)出小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬構(gòu)造方程組，借助方程組來(lái)確定k的值，這里的x、y叫做輔助未知數(shù).設(shè)輔助未知數(shù)法是一種重要的思想方法.

綜上所述，運(yùn)用列二元一次方程組解決有關(guān)幾何圖形的問(wèn)題時(shí)，要學(xué)會(huì)看圖與識(shí)圖，充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的作用，仔細(xì)分析圖形中隱含的等量關(guān)系，再構(gòu)造出方程組求解.