談祥柏

走南闖北，我發(fā)現(xiàn)中國的風(fēng)景名勝區(qū)以“龍”命名的還真不少：大龍湫瀑布是浙江雁蕩山的看家景點，杭州有黃龍洞，昆明有黑龍?zhí)丁粍倜杜e.

龍常和皇權(quán)聯(lián)系在一起. 有本筆記小說里提到宋朝（公元960年至1279年，共歷時319年，是唐、宋、元、明、清5個朝代中統(tǒng)治年代最長的）始建都東京（今河南開封），當時繁華的程度，簡直是世界第一，“國寶”級文物《清明上河圖》就是描寫其市井實景的. 據(jù)說，金兵南下，東京失守的前幾年，朝廷里一位大臣曾經(jīng)做過一個預(yù)兆性的惡夢，夢見玉皇大帝的靈霄寶殿外大樹底下，有三個峨冠博帶、氣宇軒昂的人在下棋. 先由穿紅衣者和穿黑衣者對局，前者大敗，垂頭喪氣，后者洋洋得意. 接著，黑衣人又同黃衣人對弈，不一會兒就被屠掉一條大龍，輸?shù)脩K不忍睹，推枰而起，連呼“慚愧”.后來有人解釋道，穿紅衣的王者是宋太祖趙匡胤，穿黑衣的梟雄乃是金太祖完顏阿骨打，而最后那位身穿黃衣的豪強卻是起自大漠的元太祖鐵木真（成吉思汗），他建立了一個橫跨歐亞大陸、曠古未有的龐大帝國.

鑒于梁龍、雷龍、霸王龍等早已在地球上絕跡，現(xiàn)在不妨改用同屬于爬行動物的蜥蜴代替它們，做一個數(shù)學(xué)推理.假設(shè)現(xiàn)有2 006條蜥蜴，其中紅的7條，黃的410條，藍的1 589條.每種顏色的蜥蜴與另一種顏色的蜥蜴狹路相逢時，就會展開一場你死我活的惡斗，結(jié)果兩敗俱傷，都變成了第三種顏色的蜥蜴.真像成語里頭所說的“鷸蚌相爭，漁翁得利”.

現(xiàn)在，讓我們提一個有趣的問題：在無限長的時間里，它們最終會不會變成清一色的某種蜥蜴？

也許，前面所講的下棋噩夢會向你作出暗示：游戲的結(jié)局正是如此.但你能通過數(shù)學(xué)手段來說明嗎？

我們可以通過一個三維數(shù)組（它是坐標記號的一種推廣）來表示開始時三種蜥蜴的數(shù)量：（7，410，1 589）.第一步先把黃的統(tǒng)統(tǒng)變掉，即410條黃蜥蜴同410條藍蜥蜴大軍相遇，惡斗了一場之后變成了820條紅蜥蜴，我們把這一過程記為：

（7，410，1 589）→（827，0，1 179）.

接著，可由393條紅色蜥蜴同393條藍蜥蜴交鋒，把它們變成786條黃蜥蜴，這一變換過程的結(jié)果是（434，786，786），于是，不難看出下一步結(jié)果必然是（2 006，0，0），所有的蜥蜴全部變成紅色的了.

本游戲的奧妙之處在于：最終結(jié)果不受操作順序的影響.例如我們可以另辟蹊徑，干脆反其道而行之，先把紅色的蜥蜴完全變掉，然后再使它“死灰復(fù)燃”.請看下列過程以省筆墨.

（7，410，1 589）→（0，403，1 603）→（806，0，1 200）→（406，800，800）→（2 006，0，0）.

還有其他形形色色的變化方法，簡直太多了，同學(xué)們自己去試驗吧！

最后，讓我來指出問題的要害：無論哪一步，黃、藍兩種蜥蜴的數(shù)量被3去除時，余數(shù)是相同的；而紅色蜥蜴的數(shù)量在被3除時卻是另一個余數(shù).

同余變換與不變量是數(shù)學(xué)中兩個非常重要的概念，你們將來一步步學(xué)上去，必然會頻繁地同它們打交道的.