陸干華　等

隨著社會的不斷發(fā)展，統(tǒng)計與概率的思想方法越來越得到重視，“運用數(shù)據(jù)進行推理”已成為現(xiàn)代社會普遍適用的思維方式，因此概率問題便成為近年來命題的新亮點.命題者以摸球、拋硬幣、轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤、抽撲克等同學(xué)們既熟悉又感興趣的事件為載體，設(shè)計成概率中考題，以考查分析、解決問題的能立.下面就以摸球為載體的中考題分類解析.

一、從一袋中取一球

例1 小明和小樂做摸球游戲．一只不透明的袋里放有3個紅球和5個綠球，每個球除顏色外都相同，每次摸球前都將袋中的球充分攪勻．從中任意摸出1個球，記錄顏色后再放回，若是紅球小明得3分，若是綠球小樂得2分．游戲結(jié)束時得分多者獲勝．

（1）你認為這個游戲?qū)﹄p方公平嗎？

（2）若你認為公平，請說明理由；若你認為不公平，也請說明理由，并修改規(guī)則，使該游戲?qū)﹄p方公平．

解析：（1）不公平．（2）因為每個球除顏色外都相同，所以從中任意摸出1個球的機會是相同的．袋里共有球8個，其中紅球3個、綠球5個，因此從中任意摸出1個球，有P（摸出紅球） ＝ ，P（摸出綠球） ＝ ．所以小明平均每次得分＝ × 3 ＝ （分），小樂平均每次得分 ＝ × 2＝ （分）．因為 ＜ ，所以游戲?qū)﹄p方不公平．游戲規(guī)則相應(yīng)部分可修改為：①口袋里只放2個紅球和3個綠球；②摸出紅球小明得5分，摸到綠球小樂得3分.

二、從一袋中取兩球

1． 從一袋中取兩球，第一次取出不放回．

例2 不透明的口袋里裝有白、黃、藍三種顏色的乒乓球（除顏色外其余都相同），其中白球有2個，黃球有1個．現(xiàn)從中任意摸出1個是白球的概率為．

（1）試求袋中藍球的個數(shù)；

（2）第一次任意摸1個球（不放回），第二次再摸1個球，請用畫樹狀圖或列表格法，求兩次摸到的都是白球的概率．

解析：（1）設(shè)藍球個數(shù)為x，則由題意，得 ＝ ，則x ＝ 1，所以藍球有1個．

（2）用畫樹狀圖來探求兩次摸球的所有等可能的結(jié)果如圖1．

從上面的樹狀圖可以發(fā)現(xiàn)．兩次摸球的所有等可能的結(jié)果有12種，其中兩次摸到的都是白球的結(jié)果有2種，所以兩次摸到的都是白球的概率為．

說明：由于第一次取球后不放回，所以第二次取球的可能性結(jié)果比第一次取球的可能性結(jié)果少一種，畫樹狀圖或列表時要注意這一點．另外，我們有時會遇到一次摸兩球的情形，其實質(zhì)與摸兩次第一次不放回是一樣的.

2． 從一袋中取兩次球，第一次取后又放回．

例3 一個不透明的袋子中裝有3個完全相同的小球，分別標有數(shù)字3、4、5，從袋子中隨機取出1個小球，用小球上的數(shù)作為十位上的數(shù)，然后放回；再取出1個小球，用小球上的數(shù)作為個位上的數(shù)，這樣組成一個兩位數(shù).試問：按這種方法能組成哪些兩位數(shù)？組成的兩位數(shù)中，十位上的數(shù)與個位上的數(shù)之和為9的兩位數(shù)的概率是多少？用列表法或畫樹狀圖法加以說明．

解析：用列表法探求兩次摸球的所有等可能的結(jié)果如表1．

表1

從表1可以看出，能組成的兩位數(shù)有：33，34，35，43，44，45，53，54，55．組成的兩位數(shù)有9個，其中十位上的數(shù)與個位上的數(shù)之和為9的兩位數(shù)有2個，所以這個概率P ＝ .

說明：由于第一次取球后又放回，因此第二次取球的可能性結(jié)果與第一次取球的可能性結(jié)果是完全相同的，在畫樹狀圖或列表時，要注意這一點.

三、從多袋中取球

例4 某中學(xué)七年級有6個班，要從中選出2個班代表學(xué)校參加某項活動，七（1）班必須參加，再從另外5個班選出1個班．七（4）班有同學(xué)建議用如下的方法：從裝有編號為1、2、3的3個白球A袋中摸出1個球，再從裝有編號為1、2、3的3個紅球B袋中摸出1個球（兩袋中的球除顏色外其余特征完全一樣），摸出的2個球上的數(shù)之和是幾，就選幾班．你認為這種方法公平嗎？請說明理由．

解析：方法不公平．

說理1：用表格來說明，如表2．

表2

說理2：畫樹狀圖來說明，如圖2．

從表2或圖2可以看出，摸出的2個球上的數(shù)之和有9種等可能的結(jié)果：和為2的有1種，和為3的有2種，和為4的有3種，和為5的有2種，和為6的有1種．所以七（2）班被選中的概率為，七（3）班被選中的概率為，七（4）班被選中的概率為＝，七（5）班被選中的概率為，七（6）班被選中的概率為．因此這種方法不公平.

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