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        四種相等關(guān)系的妙用

        2008-07-07 05:18:36劉海慶
        中學生數(shù)理化·教與學 2008年4期

        劉海慶

        對于圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系,我們有以下定理和推論.

        定理:在同圓和等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦相等,所對的弦的弦心距相等.

        推論:在同圓和等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等,那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.

        上述定理和推論共同的特點是:命題結(jié)構(gòu)簡明,題設(shè)含一個判斷,容易找出,結(jié)論有三個判斷,選擇應(yīng)用,靈活方便.應(yīng)用上述定理和推論,可簡捷地證明和解決有關(guān)圓中的角、弧、弦及弦心距的相等關(guān)系問題.

        例1 如圖1,已知O是正方形ABCD對角線上一點,以O(shè)為圓心,OA為半徑的⊙O與BC相切于M,與AB、AD分別相交于E、F.

        (1)求證:CD與⊙O相切.

        (2)若正方形ABCD的邊長為1,求⊙O的半徑.

        (3)從五邊形AEMNF的邊的相等關(guān)系考慮,你可以得出什么結(jié)論?請給出證明.

        解析:(1)(2)解略.

        (3)從五邊形AEMNF的五條邊的相等關(guān)系考慮有:①AE=AF=MN;②EM=FN.

        ①連接OE、OF,

        則有∠OFA=∠OAF=∠OAE=∠OEA=45°.

        ∴∠AOE=∠AOF=∠MON=90°.

        故有AE=AF=MN(同圓中,相等的圓心角所對的弦相等).

        ②∵∠EOC=∠FOC=90°, ∠COM=∠CON=45°,

        ∴∠EOM=∠NOF=45°.

        即有EM=FN(同圓中,相等的圓心角所對的弦相等).

        評析:直接應(yīng)用定理“同圓中相等的圓心角所對的弦相等”一次推理到位,干脆利落.

        例2 已知⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點,且點O2在⊙O1上.

        (1)如圖2,AD是⊙O2直徑,連接DB,并延長交⊙O1于C.求證:CO2⊥AD.

        (2)如圖3,如果AD是⊙O2的一條弦,連接DB并延長交⊙O1于C,那么CO2所在的直線是否與AD垂直?并證明你的結(jié)論.

        解析:(1)證明略.

        (2)如果AD是⊙O1的一條弦,那么仍有CO2⊥AD.

        如圖4,連接AC交⊙O2于E,過O2作O2P⊥AC,O2Q⊥DC,垂足分別為P、Q.

        ∵AO2=BO2,

        ∴∠1=∠2,且O2P=O2Q.

        ∴AE=DB(同圓中,相等的弦心距所對應(yīng)的劣弧相等).

        于是有 = ,∠A=∠D,AC=DC,即有CO2⊥AD.

        評析:將⊙O1中圓周角的相等關(guān)系∠1=∠2,轉(zhuǎn)化為⊙O2中的弦心距的相等關(guān)系O2P=O2Q,問題迎刃而解.

        “本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”

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