題目 一只螞蟻在如圖1所示的樹(shù)枝上尋找食物，假定螞蟻在每個(gè)岔路口都會(huì)隨機(jī)地選擇一條路徑，它獲得食物的概率是多少?

這是人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)九年級(jí)上冊(cè)第155頁(yè)第4題.

錯(cuò)解 用樹(shù)形圖，如圖2所示，解答：螞蟻共有7種不同的走法，其中兩種走法獲得食物，概率為27.

剖析 樹(shù)形圖法是用來(lái)求古典概型概率的一種方法，古典概型試驗(yàn)具有兩個(gè)共同特點(diǎn)：

1. 一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有有限多個(gè)；

2. 一次試驗(yàn)中，各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等.

胡老師在文[1]中指出，此題是一道初中階段不易解決的概率題，教材安排這道習(xí)題是不恰當(dāng)?shù)?實(shí)際上，借助轉(zhuǎn)化思想這道題完全可以用初中階段 的知識(shí)解決，下面給出兩種正確的解法：

解法1 由于螞蟻爬向b1、b2、b3的可能性是一樣的，而與b1相連的數(shù)叉上沒(méi)有食物，因此與b1相連的小樹(shù)叉的數(shù)量不影響螞蟻爬到b2或b3后再獲得食物的概率，因此，可以去掉與b1相連的一個(gè)數(shù)叉，不影響問(wèn)題的最后結(jié)果，這樣就滿(mǎn)足古典概型的兩個(gè)特點(diǎn)了.

列出如圖3所示樹(shù)形圖：

于是，螞蟻共有6種不同的走法，其中兩種走法獲得食物，概率為13.

解法2 將與b1、b2、b3相連的小樹(shù)叉的個(gè)數(shù)都改為6，相應(yīng)的與b2、b3的有食物的小樹(shù)叉的個(gè)數(shù)都改為3，于是問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為古典概型問(wèn)題，易求螞蟻獲得食物的概率是13.

不難看出解法2更具一般性，同樣的思路可以解答下面的變式問(wèn)題：

變式題1 把原題中與b3相連的樹(shù)叉上的食物移到與b1相連的樹(shù)叉上，其它條件不變，求螞蟻獲得食物的概率?

分析 把與b1、b2、b3相連的樹(shù)叉的個(gè)數(shù)變?yōu)?，相應(yīng)的與b1相連的有食物的樹(shù)叉的個(gè)數(shù)變?yōu)?，與b2相連的有食物的樹(shù)叉的個(gè)數(shù)變?yōu)?，問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為古典概型問(wèn)題了.列數(shù)形圖(圖略)可得，螞蟻共有18種不同的走法，其中5種走法獲得食物，獲得食物的概率為518.

由此不難得到解決這個(gè)問(wèn)題的一般思路： 先找出第二層樹(shù)叉上有食物的第一層樹(shù)叉，將第二層樹(shù)叉的個(gè)數(shù)都變?yōu)榕c這些數(shù)叉相連的小樹(shù)叉?zhèn)€數(shù)的最小公倍數(shù)，有食物的樹(shù)叉同時(shí)做相應(yīng)變化；對(duì)于第二層樹(shù)叉上沒(méi)有食物的第一層樹(shù)叉，與其相連的小樹(shù)叉的個(gè)數(shù)與最后結(jié)果無(wú)關(guān)，也變?yōu)榍懊嫘?shù)叉?zhèn)€數(shù)的最小公倍數(shù)，從而把問(wèn)題變?yōu)楣诺涓判蛦?wèn)題求解.

利用這個(gè)規(guī)律可以簡(jiǎn)潔地解答稍復(fù)雜的下面的問(wèn)題：

變式題2 在原題背景下，把與b1相連的樹(shù)叉?zhèn)€數(shù)改為4個(gè)，其中2個(gè)樹(shù)叉上有食物；與b2相連的樹(shù)叉的個(gè)數(shù)改為6個(gè)，其中4個(gè)樹(shù)叉上有食物；與b3相連的樹(shù)叉共有7個(gè)，沒(méi)有樹(shù)叉上有食物，求螞蟻獲得食物的概率.

分析 第二層樹(shù)叉上有食物的第一層樹(shù)叉是b1、b2，與它們相連的小樹(shù)叉的個(gè)數(shù)分別是4和6，它們的最小公倍數(shù)是12，因此，將第二層樹(shù)叉的個(gè)數(shù)變?yōu)?2，同時(shí)與b1相連的有食物樹(shù)叉?zhèn)€數(shù)變?yōu)?，與b2相連的有食物樹(shù)叉?zhèn)€數(shù)變?yōu)?；與b3相連的小樹(shù)叉上沒(méi)有食物，與之相連的樹(shù)叉的個(gè)數(shù)直接變?yōu)?2.問(wèn)題變?yōu)楣诺涓判蛦?wèn)題，列數(shù)形圖容易求出螞蟻獲得食物的概率為718.

由此看來(lái)，這是一道提高學(xué)生分析問(wèn)題能力、滲透轉(zhuǎn)化與化歸思想的一道好題.胡老師文中作出的這是“一道初中階段不易解決的概率題，教材安排這道習(xí)題是不恰當(dāng)?shù)摹钡恼摂囡@然有考慮不全面之嫌.

參考文獻(xiàn)

[1] 胡其忠.一道初中階段不易解決的概率題 [J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中)，2007，(6).

作者簡(jiǎn)介：蓋仕廣，1992年畢業(yè)于南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，中學(xué)高級(jí)教師，致力于解題及解題教學(xué)研究，曾在貴刊及其它省級(jí)以上刊物發(fā)表論文多篇.

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