單秀華

解一元一次不等式的全部過程，與解一元一次方程相比，只是在最后一步上有所變化.所以，在熟練掌握解一元一次方程的基礎上，解一元一次不等式的關鍵是集中精力細心完成最后一步——用未知數(shù)的系數(shù)去除不等式的兩邊.

初學不等式，為了減少不必要的失誤，在用未知數(shù)的系數(shù)去除不等式的兩邊時，分三步來思考比較合適：

1.由未知數(shù)的系數(shù)的正負性，確定不等號的方向是否改變；

2.由不等號兩邊的符號確定商的符號；

3.弄清楚誰除誰.

掌握上述規(guī)律就可以解決很多不等式的基礎習題，然而對于不等式中出現(xiàn)的一些小綜合的題目，部分同學解決起來還是感到困難，現(xiàn)通過以下分析，希望對同學們能有所幫助.

一、一元一次不等式與方程的綜合

我們先來看一個簡單問題.

例1若不等式（2k+1）x<2k+1的解集是x＞1，則k的取值范圍是.

分析：這是一個含參數(shù)的關于x的不等式的解集已知的問題.解決這一問題的關鍵是觀察不等式中不等號的方向與其解集中不等號的方向是否一致.若不一致，則說明未知數(shù)的系數(shù)為負數(shù)；若一致，則說明未知數(shù)的系數(shù)為正數(shù).從而把問題轉化為關于參數(shù)的不等式，解這個不等式得到參數(shù)的解.本問題中因為不等式的不等號方向和其解集的不等號方向不一致，從而斷定2k+1<0，所以k<-.

例2如果關于x的不等式(2a－b)x＋a－5b>0的解集為x<，求關于x的不等式ax>b的解集.

解：由不等式（2a－b）x＋a－5b>0的解集為x<，可知2a－b<0，且=，得b=a.結合2a－b<0，b=a，可知b<0，a<0.則ax>b的解集為x<.

評注：這道題的內涵極為豐富，它牽涉到不等式的基本性質，不等式的解的意義，不等式的求解等內容.它將式的恒等變形、不等式、方程融合在一起，以不等式為背景，構成了一道精巧的小綜合題.

例3若3x－5<0，且y=7－6x，則y的取值范圍是什么？

解法1：由3x－5<0，得3x<5.兩邊同時乘以2，得6x<10.

兩邊再同時乘以－1，得－6x>－10.

兩邊再同時加上7，得7－6x>－3.

因為y=7－6x，所以y>－3.

解法2：由y=7－6x，可得x=.將它代入不等式3x－5<0，得一個關于y的不等式3×-5<0，解這個不等式易得y>－3.

評注：解法1多次反復運用不等式的性質，最終得到問題的解，初學者應反復揣摩其變形技巧.解法2利用等式中x與y的相互表示，將求y的取值范圍問題迅速轉化為求解一個關于y的不等式的問題，從而得到問題的解.兩種解法對大家來說都不陌生，比較容易理解，也具有較強的可操作性.事實上，解法2是解決不等式與方程（或今后學習的函數(shù)）綜合問題的重要方法.同學們要仔細領會這一方法，將它程序化、步驟化，從而熟練掌握.

二、一元一次不等式的整數(shù)解問題

求出不等式的解集后，就可寫出不等式的一些整數(shù)解或正整數(shù)的解.這一類問題較為簡單，教材上有詳細的例題解析，不再贅述.

若一個含參數(shù)的不等式已知其正整數(shù)解，求參數(shù)的取值范圍時，應先根據(jù)正整數(shù)解確定不等式的解集，再確定參數(shù)的取值范圍.

例4已知不等式4x－a≤0只有4個正整數(shù)解1，2，3，4，那么正數(shù)a的取值范圍是什么？

解：由4x－a≤0得x≤.

易知x≤4時的正整數(shù)解為1，2，3，4；x≤4.1時的正整數(shù)解為1，2，3，4；…；x≤5時的正整數(shù)解為1，2，3，4，5.所以4≤<5，則16≤a<20.

其實，本題利用數(shù)形結合的方法來解更直觀易懂.根據(jù)題意畫出示意圖如下圖.

因為不等式只有4個正整數(shù)解1，2，3，4，設若在4的左側（這里指3和4之間），則不等式的正整數(shù)解只能是1，2，3，不包含4；若在5的右側（這里指5和6之間）或與5重合，則不等式的正整數(shù)解應當是1，2，3，4，5，與題設不符.所以在4和5之間，能與4重合，但不能與5重合.因此有4≤<5，故16≤a<20.

試一試：

已知關于x的不等式3x－m<5+2(2m－x)的正整數(shù)解是1，2，3，求m的取值范圍.

(答案：2

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>