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        考查圓——小題向綜合題的轉(zhuǎn)化

        2008-06-02 06:45:24沈偉忠
        關(guān)鍵詞:外接圓綜合題原點

        2007年,如北京、廣東等17個省市的高考試題(文、理科共有14套試卷)中,在綜合題中對圓的有關(guān)知識內(nèi)容進行了不同程度的考查.同2005年、2006年相比,明顯地加大了在綜合題中對圓的內(nèi)容的考查力度.對圓的內(nèi)容的考查,明顯體現(xiàn)出從小題向綜合題轉(zhuǎn)化的趨勢,具體體現(xiàn)在以下三個方面:

        1 直接考查求圓的方程

        考試說明中對圓的方程內(nèi)容的考查,要求“掌握確定圓的幾何要素,掌握圓的標準方程與一般方程”.而圓的一般方程是以二元二次方程的形式體現(xiàn),主要適用于代數(shù)運算方面.“掌握確定圓的幾何要素”,也就是確定圓心和半徑.圓的標準方程反映出圓的幾何特征——圓心和半徑,從而更容易寫出圓的標準方程,所以在考題中多數(shù)都是通過題設(shè)條件求出圓心和半徑的方法來求得圓的方程.如2007年北京卷(文科(19)、理科(17))題

        矩形ABCD的兩條對角線相交于點M(2,0),AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0,點T(-1,1)在AD邊所在直線上.

        (Ⅰ)求AD邊所在直線的方程;

        (Ⅱ)求矩形ABCD外接圓的方程;

        (Ⅲ)若動圓P過點N(-2,0),與矩形ABCD的外接圓外切,求圓P的圓心軌跡方程.

        根據(jù)題設(shè)條件,分析矩形圖形的有關(guān)性質(zhì),通過解兩直線方程組成的方程組求得圓心坐標,再利用兩點間的距離公式求出半徑,從而得出“矩形ABCD的外接圓”的標準方程.此題的前兩小問,將平面幾何中的一個重要而基本的圖形——矩形與圓結(jié)合起來,難度不大,但考查到的基礎(chǔ)知識卻不少.

        類似地,如遼寧卷(文(21)、理(22))第1小問:“已知正三角形OAB的三個頂點都在拋物線y2=2x上,其中O為坐標原點,設(shè)圓C是△OAB的外接圓(點C為圓心)(Ⅰ)求圓的方程”.通過求出在拋物線上“以原點O為頂點的正三角形”的另外兩個對稱頂點的坐標,再結(jié)合正三角形外接圓的性質(zhì),求出三角形外接圓的圓心和半徑,最后由標準方程形式寫出所要求的圓的方程.比較北京和遼寧卷兩道解析幾何綜合題,一道題是求矩形外接圓的方程,另一道是求正三角形外接圓的方程,可謂是“形似且神似”般地“不謀而合”.

        我們不妨再將全國卷Ⅱ(文(21)、理(22))和廣東卷(文(19)、理(18))拿出來比較一下:

        (全國卷Ⅱ)在直角坐標系xOy中,以O(shè)為圓心的圓與直線x-3y=4相切.

        (1)求圓O的方程;(2)圓O與x軸相交于A、B兩點,圓內(nèi)的動點P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列,求PA·PB的取值范圍.

        (廣東卷)在平面直角坐標系xOy中,已知圓心在第二象限、半徑為22的圓C與直線y=x相切于坐標原點O.橢圓x2a2+y29=1與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10.

        (1)求圓C的方程;

        (2)試探究圓C上是否存在異于原點的點Q,使Q到橢圓右焦點F的距離等于線段OF的長,若存在,請求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

        以上兩道考題中的第1小問,雖然都是以求圓的方程為目標且解題方法完全相同,但題設(shè)卻“似而不同”:全國卷Ⅱ是在已知圓心的條件下,通過直線與圓相切求半徑寫出圓的方程,廣東卷則是在已知半徑的條件下,通過“直線與圓相切于原點”求圓心坐標后寫出圓的方程.而安徽理科卷(19)題題設(shè)中,直接給出“以原點為圓心,以t(t>0)為半徑”,要求考生能寫出圓的方程并加以運用.因此,對于求圓的方程的考題,基本上都落在“確定圓的幾何特征——圓心和半徑”上,這也正符合高考考試說明的要求.

        2 考查圓的性質(zhì)、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系

        對于圓的內(nèi)容,考試說明還要求:能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系,能用直線和圓的方程解決一些簡單問題.07年各地高考題中,有13個省市的解析幾何綜合題對此進行了考查.如海南、寧夏卷(文科)、湖北卷(文、理):

        (海南、寧夏卷文(21))在平面直角坐標系xOy中,已知圓x2+y2-12x+32=0的圓心為Q,過點P(0,2)且斜率為k的直線與圓Q相交于不同的兩點A、B.

        (Ⅰ)求k的取值范圍;(Ⅱ)是否存在常數(shù)k,使得向量OA+OB與PQ共線?如果存在,求k值;如果不存在,請說明理由.

        湖北卷(理(19)、文(21))如圖,在平面直角坐標系xOy中,過定點C(0,p)作直線與拋物線x2=2py(p>0)相交于A、B兩點.

        (Ⅰ)若點N是點C關(guān)于坐標原點O的對稱點,求△ANB面積的最小值;

        (Ⅱ)是否存在垂直于y軸的直線l,使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值?若存在,求出l的方程;若不存在,說明理由(此題不要求在答題卡上畫圖).

        海南、寧夏卷第1小問除了考查圓的概念(已知圓的方程求圓心和半徑)外,還通過直線與圓相交來考查一元二次方程的有關(guān)知識,湖北卷則考查直線與圓相交構(gòu)成的相交弦弦長問題.

        類似地,山東卷(理(21)、文(22))第2小問中,因為題設(shè)條件“以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點D”,故AD⊥BDDA·DB=0進而轉(zhuǎn)化為坐標運算(也可用求圓的方程的方法求解)來考查圓的性質(zhì)(直徑所對的圓周角為直角).北京卷第3小問((Ⅲ)若動圓P過點N(-2,0),且與矩形ABCD的外接圓外切,求動圓P的圓心的軌跡方程.)和遼寧卷第2小問都從不同角度對兩圓位置關(guān)系進行了不同層次的考查.

        3 新課標地區(qū)對圓的內(nèi)容的考查比重加大

        在新課標的教學(xué)大綱中,對解析幾何的要求明顯降低,并且在解析幾何的教學(xué)要求上偏重于直線與圓的方程(要求“理解”和“掌握”),而對圓錐曲線,即使理科,除了掌握圓、拋物線的意義及簡單性質(zhì)外,其余只作“了解”要求.07年新課標地區(qū)的高考試題正是按新課標的要求命制的.2007年廣東等實施新課標教學(xué)的四省,高考文、理科共六套試題中,竟然有五套試題中的解析幾何綜合題是以考查圓為主或與圓相關(guān),可見其比重之大.

        對08年高考的啟示:由于高考綜合題對圓的內(nèi)容的考查,其焦點集中在圓的方程、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系上,且大都是中檔題,考查的知識與方法側(cè)重于最基礎(chǔ)的,所以建議高三復(fù)習(xí)時,只有采取“小題大作”,熟練在各種題設(shè)下求圓的方程的方法,掌握直線與圓、圓與圓位置關(guān)系的判斷,才能真正收到“大題化小,小題化了”的效果.

        作者簡介 沈偉忠,出生于1963年9月,中學(xué)數(shù)學(xué)高教師,主要研究高、初中數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)競賽,主編《高中數(shù)學(xué)總攻略》(360多萬字,由汕頭大學(xué)出版社出版)等六部高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料,參與編寫的書十多部.在各種數(shù)學(xué)專業(yè)雜志上發(fā)表數(shù)學(xué)論文100多篇.

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