孫琪斌，中學數學特級教師，上海市嘉定區(qū)數學教研員.曾先后在三十余種報刊上發(fā)表文章一百余篇.出版有專著《在學中教?搖異步達標》.

1. 半圓形的周長與半圓的弧長不是同一個概念

先從一個常見的題目說起.

例1 半徑是R的半圓的周長為（）.

A. πR B. πR2

C. πR+2R D. πR2

講解：最后的答案，可能聚焦在A，C兩個選項上.有些學生（或老師）可能將答案確定為C.理由是選項A忽視了半圓的直徑2R.

事實上，正確答案應該是A.因為圓心為O、半徑為r的圓，可以看做是所有到定點O的距離等于定長r的點組成的圖形；圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.由此可見，半圓的周長，其實就是半圓的弧長.

半圓與直徑所圍成的半圓形的周長，是半圓的弧長加上一個直徑的長.

2. 圓心O在不在圓上

例2 仔細閱讀下面兩位同學的對話，然后再翻閱課本，給出你自己的解答.

小明：圓心O在不在圓上？圓心O當然在圓上，不然為什么叫圓心而不稱為圓的中心！

小亮：圓心O不在圓上.因為“在一個平面內，線段OA繞它的一個固定的端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓”.圓心O不屬于另一個端點A所形成的圖形，所以圓心O不在圓上.

3. 靈活掌握垂徑定理以及相關命題

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.

圖1中的直徑CD，有這樣幾個特點：① 弦過圓心O（即直徑）；② 垂直于弦AB；③ 平分弦AB；④ 平分弦AB所對的劣?。虎?平分弦AB所對的優(yōu)弧.事實上，在這五點之中，任取兩點作為命題的題設，其余三點作為命題的結論，都可以組成一個命題，這樣，共可以組成10個命題.

垂徑定理所描述的命題，其實可以理解為：①②?圯③④⑤.

類似地，依據①②?圯③④⑤，我們可以構造出一個命題：平分弦的直徑，垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

需要引起注意的是，這個命題是一個假命題.同一個圓中的任意兩條直徑所組成的圖形，皆可以成為說明這個命題為假命題的事例.

由此，這個命題可以改造為：平分弦（不是直徑）的直徑，垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

我們還可以構造出另一個命題：弦的垂直平分線過圓心，且平分弦所對的兩條弧.這是一個真命題，可以用來確定一條弧所在圓的圓心位置.

其他命題以及真假，請同學們自主完成.

4. 學會使用圓的對稱性研究問題

例3 如圖2，已知⊙P與x軸相切于坐標原點O，點A（0，2）是⊙P與y軸的交點，點B（2 ，0），連接BP交⊙P于點C，連接AC并延長交x軸于點D．

（1） 求線段BC的長.

（2） 求直線AC的函數解析式.

（3） 當點B在x軸上移動時，是否存在點B，使△BOP相似于△AOD？若存在，求出符合條件的點B的坐標；若不存在，請說明理由．

講解：（1） 由題意，得OP=1，OB=2 ，CP=1.在Rt△BOP中，由BP 2=OB 2+OP 2，可得（BC+1）2=（2 ）2+12.解得BC=2.（負值已舍）

（2） 過點C作CE⊥x軸于E，利用相似三角形的性質可求得CE= ，OE= ，C ， .從而可求得直線AC的解析式：y=- x+2.

（3） 在x軸上存在點B，使△BOP與△AOD相似.

因∠OPB>∠OAD，若△BOP與△AOD相似，則∠OBP=∠OAD，∠OPB=2∠OAD.可得∠OBP=30°.

由OB=OP·cot30°= ，可得B1（ ，0）.

根據對稱性，可得B2（- ，0）.

故符合條件的點B有兩個，其坐標分別為B1（ ，0），B2（- ，0）.

5. 體會分類討論的數學思想方法

學習本章，一定要結合具體問題，領會分類討論的數學思想.

例4 一個點到圓的最大距離為11 cm，最小距離為5 cm，則圓的半徑為（）.

A. 16 cm或6 cmB. 3 cm或8 cmC. 3 cmD. 8 cm（答案：B）

例5 如果直線上一點與圓心O的距離大于⊙O的半徑，那么這條直線與⊙O的位置關系是（）．

A. 相交 B. 相切

C. 相離Ｄ. 相交、相切、相離都有可能 （答案：D）

例6 ⊙O1與⊙O2的圓心距為5，⊙O1的半徑為3，若兩圓相切，則⊙O2的半徑為 ．（答案：2或8）

例7 AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°，則弦AB所對的圓周角是（）.

A. 40°B. 140°或40°C. 20°Ｄ. 20°或160° （答案：B）

例8 在半徑為5 cm的圓內有兩條平行弦，一條長6 cm，另一條長8 cm，則兩條平行弦之間的距離為 .?搖（答案：1 cm或7 cm）

以上幾道題并不難，請同學們自己做做看，并總結出有關圓問題的多解規(guī)律.