1 引 言

利用非線性彈性和阻尼元件控制振動日益受到重視。與線性元件相比，非線性元件具有衰減大沖擊和吸收寬頻帶振動的特征，所以更為有效。聚氨酯隔振器是一種承載范圍寬的新型非線性隔振器。本文通過大量試驗,對聚氨酯隔振器動態(tài)特性進行了研究。試驗研究表明，聚氨酯隔振器的遲滯特性不僅與振幅有關(guān)，還與頻率有關(guān)；恢復(fù)力同時受頻率和振幅的影響，具有非線性滯后特性。在此基礎(chǔ)上結(jié)合理論分析,建立了隔振器模型,該模型將恢復(fù)力分解為非線性彈性力和非線性阻尼力兩部分。對比理論與試驗結(jié)果表明,所建模型可靠,能夠合理描述隔振器的非線性遲滯特性,為其隔振動態(tài)特性研究奠定了重要的理論基礎(chǔ)。

2 聚氨酯隔振器動態(tài)特性試驗

2.1 試驗元件及測試設(shè)備

由于傳統(tǒng)的激振方法(例如錘擊、激振器和振動臺)難以滿足大振幅、頻率和激振力變化范圍的要求。為了更加方便地激發(fā)出高次非線性,提高參數(shù)識別精度,運用美國MTS公司810型液壓伺服試驗系統(tǒng)，該系統(tǒng)采用微機數(shù)控和電液伺服，配置的位移、載荷、應(yīng)變3種傳感器都很精確，精度為0.5%，有良好的頻率控制和幅值控制特性，同時能由微機自動記錄所有數(shù)據(jù)，是測試隔振器靜態(tài)和動態(tài)性能的理想設(shè)備，完全滿足測試要求。

試驗裝置及隔振器安裝示意圖如圖1所示。

圖1 試驗元件在MTS材料試驗機上安裝圖

2.2 試驗及結(jié)果分析

在MTS材料試驗機上采用位移控制方式的正弦位移加載試驗,將從試驗機自帶的力、位移傳感器反饋回來的信號進行濾波去噪，編制MATLAB程序，可得到許多相應(yīng)的曲線圖，如圖2和圖3所示。圖2表示激振頻率為4 Hz，振動幅值為±0.5 mm、 ±1.0 mm、±2.0 mm的恢復(fù)力—位移圖。圖3表示振動幅值為2 mm，激振頻率分別為2 Hz, 6 Hz,10 Hz的位移恢復(fù)力圖。

圖2 遲滯回線隨振幅變化的圖形(頻率4 Hz)

圖3 遲滯回線隨頻率變化的圖形(振幅2 mm)

由圖2遲滯回線隨振幅的變化可知:

1) 振幅不同,即使位移相同,恢復(fù)力也不同,即恢復(fù)力與變形歷史有關(guān);

2) 振幅不同,隔振器的平均剛度也略有不同；

3) 恢復(fù)力具有明顯的滯后特性,遲滯回線的面積(表示隔振器所耗散的能量)隨振幅發(fā)生改變,說明隔振器的阻尼與振幅有關(guān),隔振器的動剛度和阻尼均是振幅的非線性函數(shù);

4) 遲滯回線的形狀接近橢圓,隨著振幅的增大,遲滯回線的形狀發(fā)生改變,說明恢復(fù)力中的阻尼成份并不單一。

由圖3遲滯回線隨頻率的變化可知:

1) 頻率不同,隔振器的平均剛度隨之改變;

2) 遲滯回線的面積隨著頻率的改變而變化,說明隔振器的阻尼與頻率有關(guān)。

綜上所述,聚氨酯隔振器的恢復(fù)力同時受振幅和頻率的影響,與變形歷史有關(guān), 其本構(gòu)關(guān)系是一個復(fù)雜的非線性泛函。

3 隔振器動力學(xué)模型及參數(shù)識別

迄今為止,最具代表性的非線性遲滯系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型主要有以下幾種:雙線性恢復(fù)力模型[1];Bouc-Wen模型[2,3]、跡法模型[4]。這些模型各有不同的應(yīng)用場合和優(yōu)缺點。

雙線性恢復(fù)力模型優(yōu)點是結(jié)構(gòu)形式簡單,各參數(shù)物理意義明確,需要辨識的參數(shù)少,缺點是將系統(tǒng)處理成兩個線性剛度系數(shù),無法描述強非線性高階剛度系數(shù)的影響,將阻尼僅處理成干摩擦阻尼,不足以描述復(fù)雜阻尼情況; Bouc-Wen模型優(yōu)點是可以描述大小不同、形狀各異的遲滯回線,缺點是恢復(fù)力表達式中彈性力和阻尼力不明確,各參數(shù)物理意義不清晰,參數(shù)中出現(xiàn)了一階微分方程不利于參數(shù)識別,這種模型多用于滯后系統(tǒng)的隨機振動響應(yīng)分析; KO[5]等提出的基于平均和等效原理的跡法模型優(yōu)點是各個參數(shù)的物理意義明確,表達式簡單,但是由于實際結(jié)構(gòu)很復(fù)雜,可能同時存在多種阻尼,因此阻尼僅描述為等效的粘性阻尼往往反映不了實際情況。潘東[6]等在跡法模型的基礎(chǔ)上提出了一種混合阻尼模型來描繪鋼絲繩遲滯特性，結(jié)果表明該模型能夠合理反映兼有不同性質(zhì)阻尼的滯后非線性特性。

3.1 非線性彈性復(fù)合阻尼模型

分析由動態(tài)試驗得到的圖4可知，遲滯回線可以分成上下2條,分別對應(yīng)速度大于零及小于零的情況。大多數(shù)情況下可以認為上下半支遲滯回線是關(guān)于位移反對稱的。用冪函數(shù)多項式分別擬合上下半支遲滯回線,假設(shè)用于擬合上半支遲滯回線的冪函數(shù)多項式為:

(1)

圖4 聚氨酯隔振器動態(tài)特性圖(預(yù)壓5 mm,振幅2 mm)

由位移反對稱原理FX(x)=-FS(-x)，則用于擬合下半支遲滯回線的多項式為:

(2)

上式中，F(xiàn)S(x)、FX(x)分別表示遲滯回線的上下分支。其中x為隔振器變形,ai表示冪函數(shù)多項式的系數(shù)。冪函數(shù)多項式項數(shù)n,按擬合的遲滯回線形狀和對表達式要求的精度而定。

將式(1)、式(2)的冪函數(shù)多項式按奇、偶項分開寫為:

(3)

(4)

兩式合并為:

(5)

遲滯恢復(fù)力中彈性恢復(fù)力Fk(x)為弱非線性,因此取前兩階展開式即可。構(gòu)造非線性彈性恢復(fù)力Fk(x)的數(shù)學(xué)模型為:

Fk(x)=k1x+k3x3

(6)

圖5 遲滯回線擬合分解圖

由于產(chǎn)生阻尼的因素較多,恢復(fù)力中存在多種阻尼成份,若僅用一種阻尼描述,則與實際情況相差較遠。因此,在模型中引入反映阻尼組成的阻尼成份因子,構(gòu)造非線性阻尼力數(shù)學(xué)模型為:

(7)

式中,c為阻尼系數(shù),α為阻尼成份因子。由上式可以看出:α越大,阻尼力對速度的變化越敏感;反之阻尼力對速度的變化就比較遲鈍。當α=1時,上式實際上就簡化為線性粘性阻尼;當α=0時,阻尼力僅與速度符號有關(guān),上式表示的是干摩擦阻尼;當α在(0,1)范圍內(nèi)變化時,表示的是既有干摩擦阻尼特性，又有粘性阻尼特性的混合型阻尼。由此可以看出,阻尼成份因子α可以很好地描述多種阻尼成份,且物理意義明確。

綜上所述,描述聚氨酯隔振器動態(tài)特性的非線性彈性復(fù)合阻尼模型為:

(8)

3.2 參數(shù)分解識別算法

針對該模型可采用非線性最小二乘最優(yōu)化方法進行參數(shù)識別?；谧顑?yōu)化方法的參數(shù)識別，就是通過不斷調(diào)整參數(shù)向量使殘差和最小，即

(9)

式中，r(y)為殘差，y為待識別參數(shù)向量。解非線性最小二乘問題的牛頓迭代公式為[7]：

yk+1=yk-(J(yk)TJ(yk)+S(yk))-1J(yk)r(yk)

(10)

然而，在用MATLAB程序中的非線性最小二乘函數(shù)進行參數(shù)識別時發(fā)現(xiàn)，不僅計算周期長，而且計算過程中會出現(xiàn)矩陣病態(tài)，導(dǎo)致識別效果不甚理想。分析問題的產(chǎn)生可能存在以下原因：S(y)含二階算子，計算的工作量很大，甚至是難以計算；矩陣逆運算非常容易出現(xiàn)奇異，導(dǎo)致計算不能繼續(xù)進行。為了盡量避免非線性最小二乘法計算矩陣病態(tài)問題的出現(xiàn)，可采取的方法是盡量減少最優(yōu)化識別時的參數(shù)數(shù)量。為此，本文采取參數(shù)分解識別方法。

1) 用動態(tài)試驗測量到的隔振元件位移、恢復(fù)力采樣信號xk,fk(k=1,2,3,…,n)對遲滯回線進行最小二乘多項式擬合,得到的多項式中奇數(shù)項系數(shù)即為待識別的非線性彈性恢復(fù)力剛度系數(shù)k1,k3。

2) 用已識別出的k1,k3及測量得到的位移采樣信號xk, 重構(gòu)非線性彈性恢復(fù)力Fk(xk)。

Fk(xk)=k1x(t)+k3x3(t)

(11)

(12)

根據(jù)非線性阻尼力模型式(7),用Gauss-Newton非線性最小二乘參數(shù)識別算法[7],編制MATLAB程序, 即可識別出阻尼系數(shù)c及阻尼成份因子α。

3.3 參數(shù)識別算例

為驗證所建模型的可靠性與參數(shù)識別算法的準確性,我們利用隔振器動態(tài)試驗中測量的振幅2 mm,頻率4 Hz的位移及恢復(fù)力數(shù)據(jù),對隔振器模型進行了參數(shù)識別,結(jié)果如表1所示,并用識別出來的參數(shù)進行了模型重構(gòu)。模型重構(gòu)結(jié)果與試驗曲線的比較見圖6,可以看出,兩者擬合得較好,說明所建模型可靠。

表1 模型參數(shù)識別結(jié)果(振幅2 mm,頻率4 Hz)

4 結(jié) 論

1) 通過隔振器動態(tài)試驗可知,聚氨酯隔振器的恢復(fù)力同時受激勵頻率和振幅的影響,并且和變形歷史有關(guān),具有明顯的非線性遲滯特性，且隔振器中存在多種阻尼成份。

2) 通過試驗及理論分析建立了隔振器的動態(tài)數(shù)學(xué)模型,通過引入阻尼成份因子,使得該模型能較好地擬合隔振器中存在的各種復(fù)雜的阻尼成份。

3) 通過對比試驗曲線與仿真結(jié)果,驗證了數(shù)學(xué)模型和參數(shù)識別的準確性,下一步可利用該隔振器恢復(fù)力模型研究其隔振動態(tài)特性。

圖6 模型重構(gòu)結(jié)果與試驗曲線對比(振幅2 mm,頻率4 Hz)

參考文獻:

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[7] 袁亞湘,孫文瑜.最優(yōu)化理論與方法[M].北京:科學(xué)出版社, 2001.