等腰三角形有一個(gè)最基本的性質(zhì):等腰三角形的兩個(gè)底角相等,簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”.這個(gè)性質(zhì)可以將等腰三角形中關(guān)于邊的條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的條件,在解題時(shí)應(yīng)用極為廣泛.而有關(guān)等腰三角形的問題常需按邊或按角分情況討論,應(yīng)用“等邊對(duì)等角”的性質(zhì),我們可以側(cè)重于研究按角分類討論的情況.下面舉兩例按角分類的問題,供同學(xué)們參考.
例1(根據(jù)2007年福建省中考試題改編)等腰三角形ABC中,∠A比∠B的2倍少50°,求∠B的度數(shù).
分析:由于本題中并未說明哪個(gè)角是頂角,所以需分情況討論.我們可以先用含∠B的代數(shù)式表示∠A為“2∠B-50°”,用內(nèi)角和定理,再求出∠C,然后再分別求出三種情況下∠B的度數(shù).
解:設(shè)∠B為x°.
∵∠A比∠B的2倍少50°,∴∠A為(2x-50)°.
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠C=180°-(2x-50)°-x°=230°-(3x)°.
當(dāng)AB=AC時(shí)(如圖1),此時(shí)有∠B=∠C,得
x=230-3x,解得x=57.5.
當(dāng)AB=BC時(shí)(如圖2),此時(shí)有∠A=∠C,得
2x-50=230-3x,得x=56.
當(dāng)AC=BC時(shí)(如圖3),此時(shí)有∠A=∠B,得
2x-50=x,得x=50.
綜上所述,∠B為57.5°或56°或50°.
點(diǎn)評(píng):本題要求的是等腰三角形的內(nèi)角,這類問題通常要分類討論.怎樣討論是解題的重點(diǎn)和難點(diǎn).本題巧妙地采用設(shè)未知數(shù)的方法,使得三個(gè)角都能用含未知數(shù)的代數(shù)式來表示,再根據(jù)三角形頂角、底角的情況進(jìn)行分類,分別列出方程求解.
例2(根據(jù)2007年無錫市中考試題改編)△ABC中,∠C是其最小的內(nèi)角,過頂點(diǎn)B的一條直線把這個(gè)三角形分割成了兩個(gè)等腰三角形,請(qǐng)?zhí)角蟆螦BC與∠C之間的關(guān)系.
分析:本題中由于只知道過頂點(diǎn)B的一條直線把這個(gè)三角形分割成了兩個(gè)等腰三角形,所以需要對(duì)兩個(gè)三角形分別分類討論,然后根據(jù)題目的具體要求,把不合題意的排除掉.
解:設(shè)∠ABC=y°,∠C=x°,過點(diǎn)B的直線交邊AC于D.在△DBC中,
1.若∠C是△BDC的頂角,如圖4,則∠ADB>90°,
∠CBD=∠CDB=1/2(180°-x°)=90°-1/2x°,∴∠A=180°-x°-y°.
此時(shí)只能有∠A=∠ABD,則180-x-y=y-90-1/2x,
即3x+4y=540,∴∠ABC=135°-3/4∠C.
2.若∠C是△BDC的底角,則有兩種情況.
(1)如圖5,當(dāng)DB=DC時(shí),∠DBC=∠C=x°,△ABD中,∠ADB=(2x)°,∠ABD=y°-x°.
①若AB=AD,得2x=y-x,此時(shí)有y=3x,∴∠ABC=3∠C.
②若AB=BD,得180-x-y=2x,此時(shí)3x+y=180,
∴∠ABC=180°-3∠C.
③若AD=BD,得180-x-y=y-x,此時(shí)y=90°,
∴∠ABC=90°,∠C為小于45°的任意銳角.
(2)如圖6,當(dāng)BD=BC時(shí),∠BDC=∠C=x°,
∠ADB=180°-x°>90°,此時(shí)只能有AD=BD, 從而∠A
=∠ABD=1/2∠C<∠C,這與題設(shè)∠C是最小角矛盾.
∴當(dāng)∠C是底角時(shí),BD=BC不成立.
點(diǎn)評(píng):在解本題過程中,有的同學(xué)因分類不全導(dǎo)致漏解;有的同學(xué)沒能根據(jù)題意得出有兩種情形∠ADB>90°的結(jié)論,因而導(dǎo)致分類過多,出現(xiàn)錯(cuò)誤;甚至也有同學(xué)因情況太多而沒耐心做下去.分類討論時(shí),要注意考慮全面,同時(shí)應(yīng)緊扣題意舍棄不合要求的情形.