對于一些看似復(fù)雜的問題，不少同學(xué)會選擇逃避.其實(shí)只要我們能掌握解決問題的技巧，就能化難為易.下面就向同學(xué)們介紹幾種尋找解題突破口的技巧.

一、 從簡單情況分析

“退到最簡單的情況，從最簡單的開始研究”，這在數(shù)學(xué)研究上為許多數(shù)學(xué)家所推崇，它是解決某些復(fù)雜問題時(shí)常采用的方法.先對簡單的情況進(jìn)行分析，待發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，再加以推廣.

例1 把2006加上它的，得到一個新數(shù)，再加上所得數(shù)的，又得到一個新數(shù)，再加上剛得到的新數(shù)的，又得到一個新數(shù)，依此類推；一直加到所得新數(shù)的，那么最后得到的數(shù)是多少？

思路分析：先從簡單的情況著手來尋找規(guī)律.

第一次相加的結(jié)果：2006＋2006×=2006＋1003；

第二次相加的結(jié)果：（2006＋1003）＋（2006＋1003）×=2006＋1003＋1003

=2006＋1003×2；

第三次相加的結(jié)果：2006＋1003×2＋（2006＋1003×2）×=2006＋1003×2

＋1003=2006＋1003×3；

再對其進(jìn)行分析得出規(guī)律：第n次相加后的結(jié)果為2006＋1003n，且一直加到了所得新數(shù)的.則要加到所得新數(shù)的就需作2005次相加，即2006+1003×2005=2013021.

例2 計(jì)算（n為正整數(shù)）.

思路分析：（1）從簡單情況探索：

n=1，＝３；

n=2，=33；

n=3，=333；

……

歸納猜想：＝.

（2）證明猜想：

原式=

=

=

=

=.

二、從特殊情況分析

①對于一些一般性的問題，我們可以先研究其某些特殊情況，再逐步尋找解決途徑，使問題得以突破.

例3 甲、乙兩位同學(xué)玩一種撲克牌游戲，兩位同學(xué)手中各持A，2，3，…，10，J，Q，K牌13張，我們約定A為1，J，Q，K為11，12，13，若甲、乙各出1張牌，然后求出甲數(shù)與乙數(shù)的差，當(dāng)13張牌全部出完，你能很快算出這13個差的和為多少嗎？

思路分析：（1）從特殊情況分析，假定甲、乙兩人每次出的牌都一樣，則每次的差為0，從而13個差的和為0.

（2）再去尋找一般性解答，將甲出的數(shù)依次記為a1，a2，…，a13，乙出的數(shù)依次記為b1，b2，…，b13，則（a1- b1）+（a2-b2）+…+（a13- b13）=（a1+a2+…+a13）-（b1+b2+…+b13），由題意得a1+a2+… +a13= b1+b2+…+b13，故13個差的和為0.

例4 如圖1，四邊形ABCD和EFGH都是正方形，且邊長均為2cm，又點(diǎn)

E是正方形ABCD的中心，求這兩個正方形公共部分（圖中陰影部分）的面積S.

思路分析：（1）我們先考慮正方形EFGH的特殊位置，即它的各邊與正方形ABCD的各邊對應(yīng)平行的情況（見圖2）.此時(shí)顯然有：S=×2×2=1 cm2.

（2）得出答案后，將這個問題還原到一般情況.過E點(diǎn)作AB和AD的垂線EN和EM，分別交AB、AD于N、M，則自然想到S△PME應(yīng)等于S△QNE.從而設(shè)法去證明這兩個三角形全等.通過∠PEM=∠QEN（∠PEM+∠MEQ=∠MEQ+∠QEN=90°）、EM=EN、∠EMP=∠ENQ，可得△PME≌△QNE，故這兩個正方形的公共部分的面積等于1 cm2.

②把問題的某一條件引向極端加以考察，有時(shí)也能迅速發(fā)現(xiàn)問題的答案，再設(shè)法對一般情形進(jìn)行分析，最終使問題得以解決.當(dāng)然極端情況也是一種特殊情況.

例5甲乙兩市瀕臨長江，一只輪船往返其間，試問：該船在靜水中往返一次所需的時(shí)間長，還是在流水中往返一次所需的時(shí)間長，或者一樣長？

思路分析：（1）從極端情況分析.假設(shè)船逆水航行時(shí)，水速等于船速，則船永遠(yuǎn)靜止不前，而無法到達(dá)目的地，所以在流水中往返一次所需的時(shí)間比在靜水中往返一次所需的時(shí)間長.

（2）對其進(jìn)行推廣，設(shè)船速為V1，水速為V2（V2＜V1），則靜水中往返一次所需的時(shí)間為，流水中所需的時(shí)間為+==

=，因?yàn)椋?，且V1-＞0（V1＞V2），V1-＜V1，所以＞，即+＞，則船在流水中往返一次所需的時(shí)間較長.

例6 兩個人坐在一張普通的圓桌旁，一個人往桌上放一枚硬幣，隨后另一個人也往桌上放一枚同樣的硬幣.如此交替地繼續(xù)下去，彼此約定，每一枚硬幣都必須平放在桌子上，而且不準(zhǔn)重疊，誰在桌上放下最后一枚硬幣，誰就是這場游戲的勝利者.如果由你來選擇，你是選擇先放還是后放呢？

思路分析：（1）假定這張桌子小得只能容納一枚硬幣，那么顯然先放的就獲勝了.

（2）將極端情況一般化.先放的人將一枚硬幣放在圓桌中心處，因此后放者只能沿這個硬幣的外側(cè)放下第二枚，由于圓桌成中心對稱，則先放者可將第三枚硬幣放在與第二枚硬幣成中心對稱的位置上.如此往復(fù)，所以先放者有必勝的把握.

總之，只要同學(xué)們有大膽嘗試的精神，再掌握一些解題技巧，難題也就迎刃而解了.