摘 要：長(zhǎng)期以來，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)一直強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，過分渲染演繹推理的重要性而忽視了生動(dòng)活潑的合情推理，《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》要求發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，筆者根據(jù)自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和理解探討如何提高學(xué)生的合情推理能力。

關(guān)鍵詞：合情推理；轉(zhuǎn)變思想觀念；現(xiàn)實(shí)生活；演繹推理

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-010X（2008）07-0050-02

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》對(duì)學(xué)生推理能力的要求是“經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)”。所謂合情推理，就是根據(jù)已有事實(shí)、結(jié)果和自己的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)，在某種情境和過程中對(duì)事物的發(fā)展趨勢(shì)及發(fā)展規(guī)律，提出一種推測(cè)性的看法，這種思維方式就是合情推理。合情推理有三種主要表現(xiàn)形式：歸納推理、類比推理、統(tǒng)計(jì)推理。合情推理的作用主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一方面，合情推理能夠加快學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握速度并提高質(zhì)量。建構(gòu)主義認(rèn)為，課本知識(shí)只是一種解釋，一種較為可靠的假設(shè)，學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的學(xué)習(xí)并非是主體對(duì)客體的被動(dòng)的鏡面式反映，而是一個(gè)主動(dòng)的建構(gòu)過程，是在理解基礎(chǔ)上對(duì)這些假設(shè)作出自己的檢驗(yàn)和調(diào)整的過程。所以合情推理是數(shù)學(xué)建構(gòu)的主體思維的關(guān)鍵步驟，是必不可少的思維方法，它可以促進(jìn)知識(shí)的同化，加速知識(shí)的遷移。另一方面，合情推理有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力。合情推理的實(shí)質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)”，因此對(duì)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)具有重要的作用。事實(shí)上，數(shù)學(xué)發(fā)展史中的每一個(gè)重要的發(fā)現(xiàn)，除演繹推理外，合情推理也起著重要作用，如哥德巴赫猜想、費(fèi)爾馬大定理的發(fā)現(xiàn)等。正因?yàn)楹锨橥评韺?duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)和終身發(fā)展具有重要的作用，所以新課程改革把合情推理能力的培養(yǎng)作為一個(gè)加強(qiáng)的方面。

那么，我們應(yīng)該怎樣培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力呢？

一、教師要轉(zhuǎn)變思想觀念，重視合情推理的教學(xué)

長(zhǎng)期以來，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)一直強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，過分渲染演繹推理的重要性而忽視了生動(dòng)活潑的合情推理，使教師和學(xué)生誤認(rèn)為數(shù)學(xué)就是一門純粹的演繹科學(xué)，凡是結(jié)論，都必須要證明，不能有“猜想”，不允許“可能”，這在很大程度上束縛了教師的思想，扼殺了學(xué)生的合情推理欲望，使師生不敢“越雷池一步”?；诖?，當(dāng)前首要的任務(wù)就是廣大教師要切實(shí)轉(zhuǎn)變思想觀念，認(rèn)識(shí)到合情推理對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和終身發(fā)展的重要性，從根本上重視合情推理的教學(xué)，具體做到認(rèn)真鉆研教材，多看、多練，善于總結(jié)各種解決問題的方法；不斷加強(qiáng)自己的思維訓(xùn)練，使自己具有較強(qiáng)的基本功；不斷探索培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力的方法，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)。這樣在平時(shí)的教學(xué)中才能積極創(chuàng)設(shè)條件，引導(dǎo)學(xué)生使用合情推理。

二、把合情推理的能力培養(yǎng)融合在各個(gè)知識(shí)領(lǐng)域的教學(xué)過程中

在“數(shù)與代數(shù)”、“空間與圖形”、統(tǒng)計(jì)與概率”、“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”四個(gè)領(lǐng)域都為學(xué)生發(fā)展合情推理能力提供了豐富的素材，以用字母表示數(shù)為例（包括大量的找規(guī)律的題目），需要依靠對(duì)具體的數(shù)的觀察、比較、歸納上升到字母的高度，實(shí)現(xiàn)從特殊到一般的飛躍，這個(gè)思維過程中，幾乎完全依靠合情推理；在空間與圖形部分，學(xué)生也常常要運(yùn)用觀察、操作、猜想等各種合情推理的手段學(xué)習(xí)圖形的性質(zhì)；用樣本估計(jì)整體實(shí)際上也屬于合情推理（這種推理屬于統(tǒng)計(jì)推理，與歸納推理和類比推理不同的是統(tǒng)計(jì)推理得到的結(jié)論無法用邏輯證明的方法檢驗(yàn)，只能靠實(shí)踐來證實(shí)）……這就需要我們恰當(dāng)設(shè)計(jì)，把突出問題放在“需要”與“認(rèn)知結(jié)構(gòu)”矛盾的風(fēng)口浪尖上，激發(fā)學(xué)生進(jìn)行合情推理的欲望和熱情；提供給學(xué)生足以探索的數(shù)學(xué)材料，合作交流的時(shí)間和空間，做好組織者、引導(dǎo)者、合作者；在課堂教學(xué)中，我們還應(yīng)該重視學(xué)生的語言表達(dá)能力的培養(yǎng)，使學(xué)生能夠把“高度情境性”的內(nèi)部語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，做到言之有理、落筆有據(jù)，“有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)”。

三、把合情推理和現(xiàn)實(shí)生活有機(jī)結(jié)合起來

這里有兩層意思，一個(gè)意思是說，現(xiàn)實(shí)生活是豐富多彩的，其中有很多地方需要依靠合情推理來作出判斷，這樣的例子更容易激發(fā)學(xué)生合情推理的熱情。我們要把握好這些機(jī)會(huì)，因勢(shì)利導(dǎo)，提高學(xué)生的合情推理能力；第二個(gè)意思是說，學(xué)生在學(xué)習(xí)課本知識(shí)時(shí)，可以與生活經(jīng)驗(yàn)相結(jié)合，不斷把課本知識(shí)內(nèi)化為自己的經(jīng)驗(yàn)。例如用生活經(jīng)驗(yàn)“一個(gè)人從A點(diǎn)出發(fā)，先向正東走5千米，又向正西走3千米，結(jié)果為向正東走了2千米”來解釋有理數(shù)的加法法則中“異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值作為和的絕對(duì)值”等。

四、正確把握演繹推理和合情推理的關(guān)系，全面提升合情推理的質(zhì)量

合情推理與演繹推理是相輔相成的，嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理以演繹推理為基礎(chǔ)，而數(shù)學(xué)結(jié)論的得出及其證明過程是靠合情推理才得以發(fā)現(xiàn)的，也就是說獲得數(shù)學(xué)結(jié)論時(shí)要經(jīng)歷合情推理到演繹推理的過程。如果離開了合情推理，那么演繹推理就成為無源之水；如果離開了演繹推理，那么合情推理就成為無果之花。因此需要我們正確把握演繹推理與合情推理的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)二者的和諧發(fā)展，不可偏廢。

1.要引導(dǎo)學(xué)生把合情推理和演繹推理有機(jī)結(jié)合起來。

從心理學(xué)的角度來看，當(dāng)猜想得到一個(gè)答案后最希望的是得到印證，這就是說需要我們抓住機(jī)會(huì)，當(dāng)學(xué)生由觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等獲得數(shù)學(xué)猜想后，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例，發(fā)展學(xué)生的理性精神。比如在學(xué)習(xí)“對(duì)頂角相等”的性質(zhì)時(shí)，我們可以先讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、度量、疊合、等方法后，得出對(duì)頂角相等的結(jié)論，然后可以要求學(xué)生給予證明（如下圖提示學(xué)生觀察∠1、∠2與∠3的關(guān)系），由∠1=180°-∠3，∠2=180°-∠3得出∠1=∠2。

這樣的過程，是一個(gè)經(jīng)歷觀察、操作、猜想、證明的過程，其中既有合情推理，又有演繹推理，學(xué)生的學(xué)習(xí)由淺入深，符合認(rèn)知規(guī)律，達(dá)到了提高推理品質(zhì)、發(fā)展能力的目的。

2.通過實(shí)例讓學(xué)生理解證明的必要性。

學(xué)習(xí)是一種通過反復(fù)思考導(dǎo)致錯(cuò)誤的緣由、逐漸消除錯(cuò)誤的過程。然而要消除這些錯(cuò)誤，需要有進(jìn)行推理的認(rèn)知能力。這些推理是通過自我調(diào)節(jié)過程而產(chǎn)生的，而不是通過記住別人所給的答案而發(fā)生的。應(yīng)當(dāng)通過具體例子，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到：由觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比得到的命題，其正確性有待于確認(rèn)，因而合乎邏輯的推理證明是必要的。看下面的問題：

如果a=b，那么a²=b²，由此類比猜想得出：當(dāng)a＜b時(shí)，a²＜b²。你認(rèn)為這個(gè)命題正確嗎？為什么？

學(xué)生可以通過舉反例說明上述命題是錯(cuò)誤的。我們要有意識(shí)從生活、代數(shù)、幾何等多角度安排素材，通過讓學(xué)生不斷修正錯(cuò)誤，來提高合情推理的水平，體會(huì)到證明的必要性，而且把學(xué)習(xí)演繹推理變成自覺的要求。

3.在學(xué)生驗(yàn)證結(jié)論的過程時(shí)，要不斷提高驗(yàn)證的要求、層次和水平。

例如：觀察下面各式：1+2=3，2+3=5，3+4=7，4+5=9……（1）你認(rèn)為兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和一定是奇數(shù)嗎？（2）你能驗(yàn)證自己的結(jié)論嗎？這道題學(xué)生首先通過觀察由特殊上升到一般，歸納出兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和是奇數(shù)，在驗(yàn)證結(jié)論時(shí)出現(xiàn)了兩種方法：方法1：隨意再找?guī)捉M數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，例如，5+6=11，10+11=21，50+51=121，很容易看出這幾組數(shù)的和也是奇數(shù)，所以原來的結(jié)論是可信的。方法2：設(shè)兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)為n，n+1（n為自然數(shù)），因?yàn)閚+（n+1）=2n+1，而2n+1表示奇數(shù)，所以兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和是奇數(shù)。很顯然，第一種方法仍然屬于特殊與一般的關(guān)系，沒有走出不完全歸納法（合情推理），而第二種方法則屬于嚴(yán)格的證明，因此就層次性來看，第二種方法明顯高于第一種方法。但是，第一種方法更容易被學(xué)生理解和接受，是學(xué)生主動(dòng)地“用實(shí)例對(duì)一些數(shù)學(xué)猜想作出檢驗(yàn)，從而增加猜想的可信程度或推翻猜想”（《課程標(biāo)準(zhǔn)》第9頁），我們應(yīng)當(dāng)給予肯定和鼓勵(lì)。當(dāng)然，在對(duì)學(xué)生肯定和鼓勵(lì)的同時(shí)，如果條件允許，就應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生上升到演繹推理（即證明）的高度，提升學(xué)生的驗(yàn)證層次和水平。當(dāng)合情推理獲得的結(jié)果用演繹推理證明后，學(xué)生不僅會(huì)增強(qiáng)對(duì)合情推理的信心，同時(shí)會(huì)增強(qiáng)用演繹推理這種更為理性的方式來解釋結(jié)果的信心。

總之，在新課程改革不斷推進(jìn)的大背景下，我們要不斷研究，把學(xué)生的合情推理能力的培養(yǎng)落到實(shí)處。

【責(zé)任編輯 姜華】