一、 線段的比
如果用同一個(gè)長(zhǎng)度單位去量得兩條線段a、b的長(zhǎng)度分別是m、n,那么a、b兩條線段的比就是m∶n,寫(xiě)成a∶b=m∶n或 = . 其中a、b分別叫做這個(gè)線段比的前項(xiàng)和后項(xiàng).這里必須注意:
(1)兩條線段的比就是兩條線段長(zhǎng)度的比,這個(gè)比與線段所用的長(zhǎng)度單位沒(méi)有關(guān)系.
(2) 是線段a與線段b的比值,它是一個(gè)正值,但沒(méi)有單位,一般情況下,要寫(xiě)成既約的兩個(gè)正整數(shù)的比;特殊地,如果線段a與線段b相等,那么它們的比值為1.
(3)在研究?jī)蓷l線段比的問(wèn)題中,兩條線段的長(zhǎng)度單位要一致.如果不一致,那么首先必須把它們化為同一長(zhǎng)度單位.
例1已知線段a=10cm,b=1m,則a∶b=.
分析由于兩條線段的長(zhǎng)度單位不一致,因此應(yīng)把它們化為同一長(zhǎng)度單位,再求比值.因?yàn)椋幔?0cm,b=1m=100cm,所以a∶b=10∶100=1∶10.或因?yàn)椋?/p>
=10cm=0.1m,b=1m,所以a∶b=0.1∶1=1∶10.
二、比例線段及其性質(zhì)
若四條線段a、b、c、d滿足a ∶ b=c∶ d,則稱(chēng)四條線段a、b、c、d成比例,其中d叫做a、b、c的第四比例項(xiàng).若b=c,則b(或c)叫做a、d的比例中項(xiàng).這里必須注意:
(1)比例線段與線段的比是兩個(gè)完全不同的概念.線段的比是兩條線段之間的比的關(guān)系,比例線段是四條線段之間的關(guān)系:兩條線段的比與另兩條線段的比相等.
(2)比例線段中的四條線段有一定的順序.例如,如果a∶b=c∶d,那么叫做線段a、b、c、d成比例;如果b∶a=d∶c,那么叫做線段b、a、d、c成比例.
比例的基本性質(zhì)是:a∶b=c∶d <=> ad=bc(符號(hào)“ <=> ”讀作“等價(jià)于”,表示兩邊可以相互推出),在解題時(shí)常用基本性質(zhì)把比例式(或等積式)化為等積式(或比例式).由比例的基本性質(zhì)還可以得到:
(1)合(分)比性質(zhì):如果 = ,則 = , = .
(2)等比性質(zhì):如果 = =…= (b+d+…+n≠0),那么 = .
許多問(wèn)題的解決都依賴(lài)于這些性質(zhì)的掌握與應(yīng)用,在應(yīng)用時(shí),常用到比值法、方程思想、分類(lèi)思想等,要認(rèn)真體會(huì),切實(shí)掌握,靈活應(yīng)用.
例2已知x∶(x-y)=2∶1,則x∶y=().
A.2∶1B.3∶2C.2∶3D.1∶2
分析方法1:由x ∶(x-y)=2∶1,有2(x-y)=x,即x=2y,所以x∶y=2∶1,選A.
方法2:由x∶(x-y)=2∶1,有 = ,從而有1- = ,即 = ,所以 = .選A.
例3已知x= = = ,則x的值為 .
分析當(dāng)a+b+c≠0時(shí),由等比性質(zhì)有x= = .當(dāng)a+b+c=0時(shí),a+b
=-c,b+c=-a,c+a=-b,所以x=-1.因此x= 或-1.
必須注意:應(yīng)用等比性質(zhì)的前提條件是分母之和不為0,如題目中沒(méi)有這樣的條件,則必須分類(lèi)討論,謹(jǐn)防漏解.
三、黃金分割及其性質(zhì)
點(diǎn)C將線段AB分割成大小兩條線段,并且小段與大段的長(zhǎng)度之比等于大段的長(zhǎng)度與全長(zhǎng)的比,這種分割稱(chēng)為黃金分割,點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn),此時(shí)有AC= AB≈0.618AB,BC= AB≈0.382AB.黃金分割的應(yīng)用非常廣泛,對(duì)此應(yīng)該引起重視.
例4已知線段AB,點(diǎn)P是它的黃金分割點(diǎn),AP >PB,設(shè)以AP為邊的正方形面積為m,以PB、AB為邊的矩形面積為n,則().
A.m>nB.m=nC.m<nD.m、n的大小關(guān)系不能確定
分析因?yàn)辄c(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn),且AP>PB,所以AP 2=PB·AB,而m=AP 2,n=PB·AB,所以m=n,選B.
四、相似圖形的概念
具有相同形狀的圖形稱(chēng)為相似圖形.有些圖形有一部分相像,但不一定相似.相似圖形的縮小與放大,各個(gè)部位是“同步進(jìn)行”的,變換后的圖形與原圖形相比較,線段之間的位置關(guān)系不變,各個(gè)內(nèi)角的大小關(guān)系不變.
例5根據(jù)圖1格點(diǎn)中的圖形,在圖2格點(diǎn)中畫(huà)出它的相似圖形.
分析本題答案不唯一,圖3是參考答案之一.
五、相似多邊形的特征與識(shí)別
對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等是相似多邊形的兩個(gè)重要特征,也是識(shí)別兩個(gè)多邊形是否相似缺一不可的條件.特別要注意:只滿足對(duì)應(yīng)邊成比例(如兩個(gè)菱形),只滿足對(duì)應(yīng)角相等(如兩個(gè)矩形),它們都不一定相似.此外,要注意最簡(jiǎn)單的相似多邊形——相似三角形的特征與性質(zhì),它是我們今后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).
例6如圖4,這兩個(gè)菱形相似嗎?說(shuō)說(shuō)你的理由.
分析這兩個(gè)菱形不相似,因?yàn)檫@兩個(gè)菱形的對(duì)應(yīng)角不相等,第一個(gè)菱形的內(nèi)角分別為45°,135°,45°,135°;而第二個(gè)菱形的內(nèi)角分別為60°,120°,60°,120°,它們不對(duì)應(yīng)相等.
注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文