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        幾何證明,謹(jǐn)防“預(yù)期理由”錯(cuò)誤

        2008-01-05 06:39:16楊俊林
        中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2008年12期
        關(guān)鍵詞:中垂線公理平分線

        楊俊林

        江蘇省泰州師范高等專(zhuān)科學(xué)校數(shù)理科學(xué)系 (225300)

        眾所周知,公理化方法的誕生是以《幾何原本》的問(wèn)世為標(biāo)志的.所謂公理化方法即從原始概念和公理出發(fā),依靠嚴(yán)密的邏輯推理,將各種各樣的命題根據(jù)內(nèi)在的邏輯關(guān)系組織起來(lái),使得對(duì)各種各樣的理論體系及它們的相互之間關(guān)系的研究成為可能.歐幾里得從古代的量地術(shù)和關(guān)于幾何形體的原始直觀中,用抽象分析方法提煉出一系列基本概念和公理.他總結(jié)概括出10個(gè)基本命題,其中有5個(gè)公設(shè)和5個(gè)公理.由此出發(fā),他運(yùn)用演繹方法將當(dāng)時(shí)所知幾何學(xué)知識(shí)全部推導(dǎo)出來(lái).但歐氏幾何的公理系統(tǒng)是不夠完善的,其主要不足可以概括為:(1)有些定義是不自足的,亦即往往使用一些未加定義的概念去對(duì)別的概念下定義;(2)有些定義是多余的,略去它們毫不影響后面的演繹和展開(kāi);(3)有些定理的證明過(guò)程往往依賴(lài)于圖形的直觀.即他所選擇的公理不完備,缺少表示點(diǎn)與點(diǎn)間順序關(guān)系的順序公理,關(guān)于合同圖形的運(yùn)動(dòng)公理,反映直線連續(xù)性的連續(xù)公理等.

        考慮到現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)教材中幾何部分的公理體系基本上雷同于歐幾里得公理體系,因而教師在教學(xué)過(guò)程中稍有不慎也會(huì)與學(xué)生一樣犯“預(yù)期理由”錯(cuò)誤.所謂“預(yù)期理由”是指將“對(duì)圖形的直觀理解作為推理論證的理由”.當(dāng)我們對(duì)感性、直觀過(guò)分依賴(lài)而導(dǎo)致一些論證錯(cuò)誤時(shí),這時(shí)我們稱(chēng)之為“預(yù)期理由”錯(cuò)誤.

        德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因(F?Klein)在他的名著《以高等數(shù)學(xué)觀點(diǎn)看初等數(shù)學(xué)》里提出了一個(gè)后人常為傳誦的命題,用以說(shuō)明在初等幾何證明中由于過(guò)分依賴(lài)直觀所犯的錯(cuò)誤:可以證明,任何三角形皆等腰.他是這樣證明的:

        證明:設(shè)△ABC是任一三角形,作BC的中垂線DO與∠BAC的內(nèi)角平分線AO相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作垂線OE,OF分別垂直于直線AB,AC,連接OB和OC(如圖1),則△AOE與△AOF全等,△ODB與△ODC全等,△OBE與△OCF全等.若DO與AO相交于△ABC內(nèi)(圖1(1)),便有AB=AE+BE=AF+CF=AC;若DO與AO相交于三角形ABC外(圖1(2)),便有AB=AE-BE=AF-CF=AC.可見(jiàn)無(wú)論是哪種情況,三角形都是等腰三角形.

        上述證明的錯(cuò)誤在于推理依據(jù)證明者自己所畫(huà)圖形“過(guò)∠BAC的內(nèi)角平分線與BC的中垂線的交點(diǎn)O作AB、AC的垂線,垂足或都在線段AB、AC上或都在AB,AC的延長(zhǎng)線上”.仔細(xì)畫(huà)圖發(fā)現(xiàn),對(duì)于非等腰三角形,過(guò)點(diǎn)O作AB、AC的垂線,垂足一個(gè)在線段上,另一個(gè)在線段的延長(zhǎng)線上.

        類(lèi)似的錯(cuò)誤還可以得出“直角等于鈍角”的荒謬結(jié)論:

        如圖2所示,在矩形ABCD外作BE=BC,連接DE,分別作DE、AB的中垂線,由于AB不平行于DE,所以它們的中垂線必交于一點(diǎn),設(shè)為點(diǎn)P.連接AP、BP、DP、EP,則有△DAP≌△EBP,因而有∠DAP=∠EBP.又因?yàn)椤螧AP=∠ABP,所以∠DAB=∠EBA.

        顯然,上述證明犯了“預(yù)期理由”錯(cuò)誤.圖2中,∠PBE=∠PBA+∠ABC+∠CBE.事實(shí)上,如圖3,延長(zhǎng)PM交DC于K,連接PC,則PK也是DC的中垂線,因而PD=PC.又因?yàn)镻E=PD,所以PC=PE.考慮到BE=BC,因而直線PB就是線段CE的中垂線.直線PE,PC應(yīng)在直線PB的兩側(cè),而不是像圖2那樣在直線PB的同側(cè),故而∠PBE=360°-(∠PBA+∠ABC+∠CBE).

        以上所列舉的一些例子在說(shuō)明本話題時(shí)是比較生動(dòng)的,但由于結(jié)論的荒謬我們?cè)谡J(rèn)識(shí)上首先確信推理過(guò)程一定有問(wèn)題,從而將注意點(diǎn)放在找推理中出現(xiàn)的問(wèn)題上.在平時(shí)教學(xué)過(guò)程中,有些問(wèn)題的結(jié)論正確與否不明顯,而在論證過(guò)程中不經(jīng)意間又將直觀圖形當(dāng)作了推理的依據(jù),這時(shí)錯(cuò)誤就顯得比較隱蔽,不易被發(fā)現(xiàn),如下面的例子:

        例1 四邊形ABCD中,AB>CD,BC>AD,則是否一定有∠D>∠B?

        這是一道初中數(shù)學(xué)考試題中一選擇題的選擇支,不少教師給出了肯定的結(jié)論,其中一位教師還給出了如下證明:

        如圖4,以線段AC的中垂線為對(duì)稱(chēng)軸,作B點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′,則B′A=BC,B′C=AB,∠ABC=∠AB′C.在△AB′D中,AB′>AD,所以∠ADB′>∠AB′D.同理可證∠CDB′>∠CB′D.所以∠CDA>∠AB′C=∠ABC.

        事實(shí)上,題目的結(jié)論是不正確的,這可以通過(guò)下面的反例加以說(shuō)明.如圖5,在四邊形ABCD中,AB=AC=1,CD=12,AB⊥AC,∠DCA=120°,∠B=45°.顯然有AB>CD且AD=74<2=BC,但玸in∠D=37<12=玸in∠B.由于∠B,∠D皆為銳角,所以∠D<∠B.

        回過(guò)頭來(lái)看看該教師的證明不難發(fā)現(xiàn),他的證明依賴(lài)了圖形的特殊性,根據(jù)自己畫(huà)出的圖形作出了“線段DB′在∠ADC內(nèi)”的假定,如果我們?cè)趫D5中以AC的中垂線為對(duì)稱(chēng)軸作出點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′,再連接DB′,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)DB′就不在∠ADC內(nèi).

        例2 AM是△ABC的中線,∠AMB與∠AMC的平分線分別交AB、AC于E、F,連接EF.求證:EF

        對(duì)于本題學(xué)生中的普遍做法如下:

        證明:如圖6,在AM上取一點(diǎn)K,使MK=BM=MC,連接EK,F(xiàn)K,則有△BME≌△KME,△KMF≌△CMF.所以,BE=KE,CF=KF.因?yàn)镋F

        顯然,上述證明問(wèn)題在于點(diǎn)K的位置,根據(jù)圖6,點(diǎn)K在EF的上方,但點(diǎn)K為什么不會(huì)在線段EF上或線段EF下方呢?這就需要另作證明,否則證明不完備.下面的證法就做到這一點(diǎn):

        證明:如圖7,延長(zhǎng)FM到G,使MG=MF,連接BG,EG.因?yàn)锽M=MC,FM=GM,∠FMC=∠GMB,所以△FMC≌△GMB,F(xiàn)C=BG.因?yàn)镋M,F(xiàn)M分別為∠AMB與∠AMC的平分線,所以EM⊥GF.又因?yàn)镕M=GM,所以EM垂直平分GF,因而EG=EF.由于EG

        由于歐氏幾何公理系統(tǒng)先天性的缺陷,在實(shí)際教學(xué)中證明一些幾何題時(shí)還必須依賴(lài)于圖形,或者說(shuō)依賴(lài)圖形證明一些幾何題未必都會(huì)犯“預(yù)期理由”錯(cuò)誤,如下題:

        例3 如圖8,在銳角三角形中,AB>AC,AM為中線,P為△AMC內(nèi)一點(diǎn),證明:PB>PC.

        證明:過(guò)點(diǎn)M作直線垂直于BC,交PB于點(diǎn)K,連接KC,則直線KM為BC的垂直平分線,故而有BK=KC.因?yàn)镵C+KP>PC,所以有:BP>PC.

        顯然,上述證明運(yùn)用了“直線BP為連續(xù)直線,因?yàn)榕c直線KM不平行,所以與直線KM必相交”這一結(jié)論.從教學(xué)過(guò)程的角度看,這是可行的.當(dāng)然,也有一些教師引導(dǎo)學(xué)生避開(kāi)使用這一結(jié)論,采用了下面的證法:

        證明:如圖9,在△ABM與△ACM中,AM是公共邊,BM=CM,AB>AC,則∠AMB>∠AMC,所以∠AMC<90°.過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC,垂足為H,則H在線段MC上,BH>BM=MC>HC,于是PB>PC.(這里運(yùn)用了結(jié)論:在△ABC與△A′B′C′中,AB=〢′B′,狝C=A′C′,則∠A>∠A′贐C>B′C′)

        總之,由于歐氏幾何公理系統(tǒng)的先天性不足,我們?cè)谶M(jìn)行平面幾何證題教學(xué)過(guò)程中,適當(dāng)依賴(lài)直觀是必須的,但作為數(shù)學(xué)教師必須做到心中有數(shù),要把握好分寸,避免因過(guò)多依賴(lài)圖形直觀而犯“預(yù)期理由”錯(cuò)誤.

        參考文獻(xiàn)

        [1]蕭文強(qiáng).數(shù)學(xué)證明[M].南京:江蘇教育出版社,1990,7.

        [2]季素月.中學(xué)數(shù)學(xué)概念原理與方法[M].桂林:廣西師范大學(xué)出版社,1991,6.

        [3]徐利治.數(shù)學(xué)方法論十二講[M].大連:大連理工大學(xué)出版社,2007,11.

        [4]錢(qián)展望,朱華偉.奧林匹克數(shù)學(xué)(初二分冊(cè))[M].武漢:湖北教育出版社,2002,3.

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