鄭云初

浙江省溫嶺市大溪中學(xué) (317525)

引子：2008年，注定要被歷史記住的一年：汶川大地震、北京奧運(yùn)會(huì)……，有幸在這一年送走了又一屆學(xué)生.因?yàn)閹Ц呷?，?fù)習(xí)時(shí)做了一些題，即使考后，仍不由自主的關(guān)注08高考題，看到山東理科第22題，心有所觸，不揣冒昧，試呈一家之言.

1 題目呈現(xiàn)

08山東高考理科數(shù)學(xué)第22題(最后一題，滿分14分)：如圖，設(shè)拋物線方程為x2=2py(p>0)，M為直線y=-2p上任意一點(diǎn)，過M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B.

(1)求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；

(2)已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，-2p)時(shí)，﹟AB|=410.求此時(shí)拋物線的方程；

(3)是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)D在拋物線x2=2py(p>0)上，其中點(diǎn)C滿足㎡C=㎡A+㎡B(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

2 題解簡(jiǎn)析

此題的前兩問，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得出A、B處的切線斜率，用點(diǎn)斜式表示出兩切線方程，即可解決(1)；利用弦長(zhǎng)公式、韋達(dá)定理，可求得p，(2)獲解；(3)是一個(gè)探索存在型問題，因DC中點(diǎn)與AB中點(diǎn)所得斜率，即為AB斜率，可得D的橫坐標(biāo)與M的橫坐標(biāo)關(guān)系，再分類討論M相應(yīng)的存在性.(自行尋查標(biāo)準(zhǔn)答案，在標(biāo)準(zhǔn)答案中，①②不必作差，兩邊乘以2p，整理即知x1，2是方程x2-2x0x-4p2=0的兩根，由韋達(dá)定理(1)獲解，且解(2)的要素即 刻呈現(xiàn)，可減少一個(gè)“思維回路”(文［1］).

3 似曾相識(shí)

瀏覽08年數(shù)學(xué)高考題時(shí)，初見此題，赫然入目的是圖形，感覺是那么的熟悉與親切，直覺她與上年的一道高考題很相似，馬上查了一下復(fù)習(xí)講義，果然是07年江蘇高考數(shù)學(xué)第19題(附文后)：兩題圖形如出一轍，對(duì)線條略施增刪(操作免述)，即可保持兩圖的一致性；動(dòng)手做了之后，更覺08山東22題的題設(shè)及(1)(2)問與07江蘇19題的“相似度”是相當(dāng)?shù)母?在前后年中出現(xiàn)這種現(xiàn)象，遠(yuǎn)比在同年中出現(xiàn)這種現(xiàn)象更引起我的關(guān)注與思考，關(guān)注命題者的思想脈搏，思考我們的教學(xué)與復(fù)習(xí).

4 尋味之處

命題者的勇氣 高考是中國(guó)第一考，其社會(huì)關(guān)注度，用“萬眾矚目”來度量，至少要乘兩個(gè)數(shù)量級(jí).面對(duì)高考，師生有壓力，命題者更有壓力，高考試題：說重一點(diǎn)，定人終身；說輕一點(diǎn)，白紙黑字，直面全國(guó)師生；說實(shí)在點(diǎn)，要有信度、效度、區(qū)分度，要體現(xiàn)穩(wěn)定性、新穎性、選拔性、導(dǎo)向性…….而數(shù)學(xué)試題中的最后一題，更被稱為壓軸題，猶如壓軸戲，應(yīng)是最精彩的，總要經(jīng)受更多的目光與挑剔.堅(jiān)信08年復(fù)習(xí)的教師，07年的高考題(全國(guó)和各省市)是必看(有些則做、練、講)的，猶如兵家之力求知彼，估摸08年的命題者也是關(guān)注的.而08山東命題者，敢選擇與07江蘇數(shù)學(xué)19題“相似度”如此高的題目作為壓軸題，不怕“壓軸”被“知彼”，不畏被稱“模仿秀”，著實(shí)勇氣可嘉，同時(shí)還隱隱透出一種閑看云卷云舒，靜聽潮起潮落的淡定從容，顯得底氣十足.

命題者的底氣 從題目看題目，山東題將江蘇題的拋物線回歸到最一般形態(tài)，以標(biāo)準(zhǔn)的一般方程形式呈現(xiàn)，更顯大氣，所設(shè)第(1)問的形式層次高(形中問數(shù))，本質(zhì)更隱蔽；從題解看考查內(nèi)容，既考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線斜率公式，弦長(zhǎng)公式，方程與曲線關(guān)系，方程解的意義，韋達(dá)定理等知識(shí)點(diǎn)，又考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題、探索問題的能力、字母運(yùn)算能力等和數(shù)形結(jié)合、方程思想、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，這些無一不是中學(xué)數(shù)學(xué)主干知識(shí)與基本方法和必備能力；從題目再探究，不難得出諸如“割線AB的斜率是切線MA、MB斜率的等差中項(xiàng)”、“M點(diǎn)的軌跡與直線AB在y軸上的截距互為充要，即：設(shè)b>0，若AB過(0,b)，則M點(diǎn)的軌跡方程為y=-b；反之亦然”等結(jié)論，特別是第二個(gè)結(jié)論中的一點(diǎn)一線，一如拋物線焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的無數(shù)“孿生”，不經(jīng)意間把我們帶入一個(gè)意韻無窮的數(shù)學(xué)世界：這里的美麗不冰冷，這里的思考很火熱，這里的發(fā)現(xiàn)無止境.至此，我們應(yīng)該說山東的命題者是“他山之玉精雕琢”而非“模仿秀”了.

命題者的和氣 此題作為壓軸題，前兩問難度中等，入手不難，計(jì)算量不大，說明了命題從中學(xué)實(shí)際出發(fā)，體現(xiàn)了對(duì)考生的關(guān)懷.目光放遠(yuǎn)點(diǎn)，魯瓊寧粵是一批高中新課程改革省份，07年即已進(jìn)入新課程高考，其他各省市今明跟上，中學(xué)師生十分關(guān)心新課程的高考，命題者正通過某些試題諄諄道來：新課程高考，更關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì)與核心；題是外形，法是內(nèi)在.外形是顯性的，可以相似相依，可以截然相反；而法是通性的、本質(zhì)的，更值得我們?nèi)ニ伎?、研究、落?shí)，我們的教學(xué)落腳點(diǎn)應(yīng)是中學(xué)數(shù)學(xué)核心的概念、思想方法(文［2］)，通過它們培養(yǎng)學(xué)生的智商、情商和能力，使學(xué)生素質(zhì)整體提升，個(gè)性得到自主發(fā)展.

一點(diǎn)啟示 高考命題，重點(diǎn)內(nèi)容重點(diǎn)考查是一條鐵律，這里的重點(diǎn)內(nèi)容是包含知識(shí)方法能力諸方面的，而使這一必然得以呈現(xiàn)的載體——題目，其出現(xiàn)帶有一定的偶然性.在復(fù)習(xí)中，選題要以必然性為主導(dǎo)，不可猜題押題被題牽著走，要研究課程標(biāo)準(zhǔn)、考試大綱的要求，起點(diǎn)放底，主干抓牢，減少教學(xué)過程中的盲目性與隨意性，增加復(fù)習(xí)的實(shí)效；試題評(píng)析時(shí)，要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生回頭看，看題目實(shí)質(zhì)考查那些知識(shí)，用到那些方法，考查什么，能否進(jìn)行進(jìn)一步的探究等，使復(fù)習(xí)能落到實(shí)處.

附：2007年江蘇高考數(shù)學(xué)第19題(滿分14分)：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過y軸正方向上一點(diǎn)C(0,c)任作一直線，與拋物線y=x2相交于A，B兩點(diǎn).一條垂直于x軸的直線，分別與線段AB和直線l:y=-c交于點(diǎn)P，Q.

(1)若㎡A?㎡B=2，求c的值；

(2)若P為線段AB的中點(diǎn)，求證：QA為此拋物線的切線；

(3)試問(2)的逆命題是否成立?說明理由.

參考文獻(xiàn)

［1］羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.陜西：陜西師范大學(xué)出版社，2001.

［2］課題組.中數(shù)核心概念……中期研究報(bào)告.陜西：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2008，7.