亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        沒有極限概念,如何理解導數(shù)的幾何意義

        2008-01-05 06:39:16董海濤
        中學數(shù)學研究 2008年12期
        關(guān)鍵詞:割線變化率切線

        董海濤

        安徽省阜陽市第三中學 (236006)

        導數(shù)是微積分的核心內(nèi)容之一,由于它是研究現(xiàn)代科學技術(shù)必不可少的工具,也是研究函數(shù)性質(zhì)的有效方法,同時它也是高等數(shù)學的內(nèi)容,所以在歷次教材改革中,變動既頻繁又較大,既體現(xiàn)了編者對它割舍不下的情懷又充滿了不知如何安排的迷茫.本文就北師大版《普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學選修2-2》(以下簡稱“新課程教材”)中對這部分內(nèi)容的安排,提出教學中的困惑,并結(jié)合實踐,提出對策,供大家參考.

        1.新課程教材安排ビ朐人教版《全日制普通高級中學教科書數(shù)學選修Ⅱ》(以下簡稱“舊課程教材”)相比,新 課程教材在教學內(nèi)容、教學要求上都有很大變化,其中與本文討論有關(guān)的是導數(shù)概念的引入,不講極限概念,而是注重通過實際背景創(chuàng)設(shè)豐富的情境,不惜篇幅引導學生經(jīng)歷由平均變化率到瞬時變化率的過程,從本質(zhì)上認識和理解導數(shù)概念,在給出導數(shù)定義后,又給出了三個具體例子,加深對導數(shù)的實際意義的認識,這些都是舊課程教材所沒有呈現(xiàn)的.

        教材的具體安排是:§1《變化的快慢與變化率》,用了兩個實例分析和兩個例題,幫助學生實現(xiàn)“平均變化率”到“瞬時變化率”的質(zhì)的飛躍,為導數(shù)概念的引入做好扎實的鋪墊.§2《導數(shù)的概念及其幾何意義》,由于有了上一節(jié)大量生動的背景實例,至此,抽象出導數(shù)定義已是水到渠成.實際教學中,學生對“…在數(shù)學中,稱瞬時變化率即為函數(shù)y=f(x)在x0點的導數(shù)”是欣然接受的, 相對舊課程教材,導數(shù)定義的給出無疑是成功的,但我們的困惑是下列問題.

        2.沒有極限的概念,如何理解導數(shù)的幾何意義バ驢緯探灘腦凇2中,專門安排了§2.2《導數(shù)的幾何意義》,教材在描述性地給出了“曲線的切線”定義后,緊接著就是“該切線的斜率就是函數(shù)y=f(x)在x0處的導數(shù)f′(x0)”.學生的困惑是:f′(x0)不是函數(shù)y=f(x)在點x0處的瞬時變化率嗎?它反映的不是割線AB在點x0處的變化快慢嗎?它怎么又是y=f(x)在點x0的切線斜率了呢?教師困惑的是:(1)本想弱化形式化的定義,降低學生理解導數(shù)的難度,但教材在導數(shù)定義后,又“通常用符號ゝ′(x0)表示,記作f′(x0)=┆玪im獂→x0f(x)- f(x0)x-x0=┆玪im△x→0f(x0+△x)-f(x0)△x”,這里還是出現(xiàn)了形式化的定義.(2)極限定義能回避得了嗎?導數(shù)定義中無法回避,這是不爭的事實,新課程教材在§3《計算導數(shù)》中,不僅出現(xiàn)了極限的符號,而且出現(xiàn)了極限的運算,與其在這里讓老師費盡口舌給一頭霧水的學生解釋半天(事實上學生仍無法理解),既偏離了主題又沒有效果,不如干脆增加一節(jié)“極限的定義”.

        3.我們的對策ノ沂∈2006年秋季進入新課改的,首輪教學中我們循規(guī)蹈矩地按教材進行教學,結(jié)果學生只能是生吞活剝地記下結(jié)論,由于不理解導數(shù)的幾何意義,在實際應用中,只能是照搬模仿,根本談不上靈活二字.在2007年開始的二輪教學中,我們對新課程教材作了大膽的嘗試,收到了理想的效果,具體地在兩處做了調(diào)整.

        3.1 增加一節(jié)極限的定義ピ諮⌒2-2§2《變化率與導數(shù)》的§1《變化的快慢與變化率》之前,增加一節(jié),課題是《極限的定義》,課時為一節(jié)課,主要介紹極限符號的引入和使用,初步滲透極限思想,具體內(nèi)容是:首先,通過列舉實例,給出“數(shù)列極限”的描述性定義:一般地,設(shè){a璶}是一個無窮數(shù)列,如果當n趨向于無窮大時,a璶無限地趨向于一個常數(shù)a,則稱a是數(shù)列{a璶}的極限.然后給出形式化的符號表示:即“當n→∞時,a璶→a”記作“┆玪im猲→∞a璶=a”.

        然后,將數(shù)列極限的初步認識正遷移到“函數(shù)極限”,仍然通過實例列舉,只介紹“當x→x0時,函數(shù)f(x)的極限”,并給出形式化的符號表示“當x→x0時f(x)→a,記作┆玪im獂→x0ゝ(x)=a”,以實現(xiàn)數(shù)列極限的順應和同化.這里不介紹“當x→∞時,函數(shù)f(x)的極限”,也不介紹“函數(shù)的左、右極限”,以免增加學生理解上的困難,更主要的是避免沖淡主題——我們這里只是介紹極限的形式化表示和極限思想,并不涉及極限的完整定義.事實上,在舊課程教材選修Ⅱ中,學生對“x→x0時,函數(shù)f(x)的極限”的理解要比“函數(shù)的左、右極限”容易得多.

        最后,為了加深對極限符號的認識,我們設(shè)計了一組練習:

        1、請用語言描述下列極限符號的含義(有的教師根據(jù)班級學生情況,要求學生探究符合要求的數(shù)列{a璶}或函數(shù)f(x)的解析式):

        (1)┆玪im猲→∞a璶=1;(2)┆玪im獂→1f(x)=-2;

        (3)┆玪im獂→0f(x)=13;(4)┆玪im獂→-1f(x)=4.

        2、正三棱錐S-ABC相鄰兩個側(cè)面所成的二面角為α,則α的取值范圍是().

        A.(0,π) B.(π6,π)

        C.(π3,π)D.(π3,π2)

        3.2 調(diào)整一段敘述ビ辛思限的符號表示,在§1 節(jié)例1和例2中,均可以用極限符號表示“小球在t=5s時刻的瞬時速度”和“合金棒在x=2處的線密度”了,而且將§2.2《導數(shù)的幾何意義》的敘述調(diào)整為:

        函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[x0,x0+△x]的平均變化率為△y△x,如圖2-3所示,它是過A(x0,f(x0))和B(x0+△x,f(x0+△x))兩點的直線的斜率,直線AB稱為曲線y=f(x)在A處的一條割線.

        如圖2-4所示,設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖像是一條光滑的曲線,從圖像上可以看出:當點B(x0+△x,f(x0+△x))沿著曲線逐漸向點A(x0,f(x0))靠近時,割線AB將繞著點A逐漸移動,當點B沿著曲線無限接近點A(即△x→0)時,割線AB也無限地逼近一個極限位置——直線AC,直線AC和曲線y=f(x)在點A處給我們“相切”的感覺,稱直線AC為曲線y=f(x)在點A處的切線.

        由于割線AB和切線AC都過點A,所以割線AB無限地趨近切線AC也即是k〢B無限地趨近k〢C.將上述變化過程表示如下:

        當△x→0時,k〢B→k〢C,由極限的定義,

        即k〢C=┆玪im△x→0k〢B=┆玪im△x→0△y△x

        =┆玪im△x→0f(x0+△x)-f(x0)△x=f′(x0).

        所以函數(shù)y=f(x)在x0處的導數(shù)f′(x0)就是曲線在點A(x0,y0)處的切線斜率,這就是導數(shù)的幾何意義.

        4.幾點反思(1)何謂“適度”的形式化?“數(shù)學教學不能只限于形式的表達,要強調(diào)對數(shù)學本質(zhì)的認識.否則會將生動活潑的數(shù)學思想活動淹沒在形式化的海洋里”,“強調(diào)本質(zhì),注重適度的形式化”(新課標十大基本理念之一)無疑是十分正確的.但“形式化是數(shù)學的基本特征之一,在數(shù)學教學中,學習形式化的表達是一項基本要求”.具體地,導數(shù)定義能離開形式化的表達嗎?離開形式化的表達,只能讓學生死記導數(shù)的幾何意義,這與新課標理念背道而弛吧.事實上,高二學生理解極限、導數(shù)的形式化表達并沒有什

        么障礙.

        (2)增加一節(jié)極限的定義,是否增加了課時?新課標實施的陣地在課堂,增加一節(jié)極限定義,是增加了一個課時,看看以高考為目的的普通高中的課時安排吧,有幾個學校的數(shù)學課時是每周四節(jié)?搞理論可以走得極端一些,但實踐還是以尊重客觀實際的好,以我校兩個年級的實際教學效果看,增加一節(jié)極限定義,無疑是必要的.

        (3)新課標要求實踐于一線的廣大教師,不僅是教材的執(zhí)行者,還應是教材完善的參與者和建議者,教材是實現(xiàn)課程目標、實施課堂教學的重要資源,既然是資源就可以開發(fā)、利用,一線教師完全可以教學實際與需要,對教材做出合理的整合.

        參考文獻

        [1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準(實驗)[M].北京:人民教育出版社.2003,4.

        [2]嚴士健、王尚志.普通高中課程標準實驗教科書?數(shù)學(選修2-2)[M].北京:北京師范大學出版社.2008,6.

        猜你喜歡
        割線變化率切線
        基于電流變化率的交流濾波器失諧元件在線辨識方法
        湖南電力(2021年4期)2021-11-05 06:44:42
        圓錐曲線的切線方程及其推廣的結(jié)論
        例談中考題中的變化率問題
        切線在手,函數(shù)無憂
        潮流方程的割線法求解
        過圓錐曲線上一點作切線的新方法
        從一道試題談圓錐曲線的切割線定理
        從圓的切割線定理談起
        利用基波相量變化率的快速選相方法
        川滇地區(qū)地殼應變能密度變化率與強震復發(fā)間隔的數(shù)值模擬
        日韩夜夜高潮夜夜爽无码| 精品亚洲一区二区视频| 亚洲国产精品成人一区二区在线| 四虎永久在线精品免费一区二区| 国产顶级熟妇高潮xxxxx| 久久无码一二三四| 午夜香蕉av一区二区三区| 国产av一区二区三区在线播放| 色天使综合婷婷国产日韩av| 亚洲日韩乱码中文无码蜜桃臀| 亚洲精品中文字幕二区| 日本最新一区二区三区在线| 日韩aⅴ人妻无码一区二区| 亚洲饱满人妻视频| 国产麻豆剧传媒精品国产av蜜桃| av手机在线观看不卡| 亚洲国产精品毛片av不卡在线| 亚洲综合久久久| 大又黄又粗又爽少妇毛片| 午夜福利理论片在线观看播放| 人人爽人人爱| 在线观看av国产自拍| 极品夫妻一区二区三区| 久久久亚洲精品一区二区三区| 男人无码视频在线观看| 亚洲国产精品夜男人天堂| 91伦理片视频国产精品久久久| 国产精品无码专区av在线播放 | 国产一区二区三区免费在线视频| 亚洲日本高清一区二区| 午夜射精日本三级| 日韩高清毛片| 久久偷拍国内亚洲青青草| 99国产精品99久久久久久| 国产真实乱人偷精品人妻| 国产一区,二区,三区免费视频| 男女射黄视频网站在线免费观看| 亚洲一区二区三区中文字幂| 无码在线观看123| 不卡视频在线观看网站| 国产精品久久久久aaaa|