摘要：本文評析了2007年浙江省高等數(shù)學(xué)微積分競賽試題中的一些典型題目，以饗讀者。

關(guān)鍵詞：高等教學(xué)評析 微積分競賽試題

2007年浙江省高等數(shù)學(xué)（微積分）競賽試題結(jié)構(gòu)嚴(yán)格執(zhí)行《考試大綱》的規(guī)定和要求，較全面地考查了學(xué)生的微積分基礎(chǔ)知識、方法和技能，重點(diǎn)突出地考查了不定積分的湊微分法（第一題第1小題）、用等價無窮小代換求函數(shù)極限（第一題第2小題）、參數(shù)方程求導(dǎo)、變上限函數(shù)求導(dǎo)數(shù)（第一題第4小題）、高階導(dǎo)數(shù)（第三大題）及函數(shù)的極值（第二大題），重點(diǎn)考查了學(xué)生對知識的理解、靈活運(yùn)用程度，同時也考查了學(xué)生對所學(xué)知識應(yīng)用于實(shí)際的能力（第五大題）以及考慮問題的全面性和對問題的等價轉(zhuǎn)化能力等等。本考試的成績能較真實(shí)地反映選手們的數(shù)學(xué)思維能力、邏輯思維能力以及處事的嚴(yán)謹(jǐn)性和有序性。本文就一些典型題目進(jìn)行評析如下。

例1（第一大題第3小題）求p的值，使

。

解析：要使定積分等于零，一種情況是被積函數(shù)在積分區(qū)間上恒為零（此題不成立），一種情況是利用定積分的幾何意義，定積分∫f(x)dx表示的是曲線y=f(x)與直線x=a，x=b，以及x軸圍成的圖形面積的代數(shù)和。本題利用換元法令x+p=t，得原方程等價于∫t e dt=0，顯然被積函數(shù)f(t)=t e 的零點(diǎn)唯一（t=0），且為奇函數(shù)，故本題要使積分為0就只可能要滿足積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對稱，即a+p=-(b+p)，解得p=- 為所求。

評注：此題難度適中，主要考查了學(xué)生對定積分幾何意義的理解，函數(shù)奇偶性，以及寂靜積分的換元法的掌握程度，同時本題也能考查出學(xué)生對知識的理解與靈活運(yùn)用程度。

例2（第二大題）設(shè)函數(shù)f(x)滿足方程，e f(x)+2e f(π-x)=3sinx，x∈R，求f(x)的極值。

解析：這種類型題一般是先求出f(x)的表達(dá)式，然后再求它的極值。本題也不例外，對原方程中x換成π-x就能得到另外一個新方程，通過對已知方程和新方程的聯(lián)立求解，就能求出f(x)= ，為可導(dǎo)函數(shù)，然后按常規(guī)的求解極值的辦法，先求出f(x)的一、二階導(dǎo)數(shù)，f′(x)= ，f″(x)=- ，然后令f′(x)=0求出駐點(diǎn)，x =kπ+ ，k∈Z，而f″（x ）的符號取決于k的奇偶性，分兩種情況討論就能判別出極值點(diǎn)的類型，并求出相應(yīng)的極值（留給讀者自己完成）。

評注：此題從題目來看，題型直觀明了，但求解過程完整還是需要學(xué)生對各個知識點(diǎn)較熟悉，且考慮問題也得全面，如駐點(diǎn)有無窮多個，即為x=kπ+ ，容易給學(xué)生造成誤區(qū)，只寫出x= 或x=2kπ+ 的情形。

例3（第三大題）設(shè)f(x)= ，求f (x)。

解析：本題是對一個有理分式求高階導(dǎo)數(shù)，分母為二次函數(shù)且可因式分解為一次式的乘積。而我們知道g(x)= 這種類型的函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)是易求的。本題可以采用先利用多項(xiàng)式除法，將原分式分解成一個多項(xiàng)式和一個真分式之和，然后將真分式分解成兩個類似于g(x)的部分分式之和，即f(x)=x+2+ =x+2+ ( + )。

評注：本題考查了學(xué)生對有理分式中假分式分解能力以及g(x)= 這種類型的函數(shù)的高階求導(dǎo)。

例4（第六大題）已知y=f(x)是[0，1]上二階可導(dǎo)函數(shù)，且f(0)= ，f(1)=1，f′(1)＞1，證明：?堝ξ∈（0，1），使得f′(ξ)=1。

解析：此題要證?∈（0，1），使得f′(ξ)=1，而題中已知了f′(1)＞1，又由y=f(x)是[0，1]上二階可導(dǎo)函數(shù)知，y=f(x)的一階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的。我們只要能證明c∈（0，1），使f′(c)＜1，就能利用連續(xù)函數(shù)的介值定理證得結(jié)論成立。事實(shí)上，由f(0)= ，f(1)=1，及拉格朗日定理知，?堝c∈（0，1），使得f′(c)= = 成立。

評注：本題考查了學(xué)生對拉格朗日定理及介值定理的綜合應(yīng)用。這類證明題還是在2003年中出現(xiàn)過的。

高等數(shù)學(xué)（微積分）對文科和大專的學(xué)生來說，一直是一門學(xué)習(xí)難度較大的科目，一般教師把教學(xué)重點(diǎn)放在對基本概念的理解以及一些簡單應(yīng)用上，對于較復(fù)雜的計(jì)算和邏輯證明是不做要求的。而由省研究會主辦的高等數(shù)學(xué)競賽就提高了一些數(shù)學(xué)愛好者們對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和積極性，他們在課余也會自學(xué)一些高等數(shù)學(xué)，討論一些數(shù)學(xué)問題，加深了對數(shù)學(xué)概念的理解和一些常用定理的應(yīng)用證明，但是證明題仍然是他們的薄弱環(huán)節(jié)，這樣的競賽就考查出了學(xué)生對數(shù)學(xué)的一種自學(xué)能力。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>