數(shù)學興趣小組組長小明宣布這次活動的主題是：“神秘數(shù)及其性質(zhì).”

小芳心直口快，搶先發(fā)問：“什么是神秘數(shù)？好迷人的名字.”

小明笑了笑說：“名字的確迷人.如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為神秘數(shù).比如：4=2²-0²，12=4²-2²，20=6²-4²，因此，4，12，20這三個數(shù)都是神秘數(shù).”

小明話音剛落，性急的小婷便急忙說道：“我也找到了兩個神秘數(shù)28和36，請看，28=8²-6²，36=10²-8².”

小明說：“請大家考慮這樣一個問題：2012是神秘數(shù)嗎？為什么？”

小勇說：“2012這個數(shù)字太大了，一時難以判斷.我國著名數(shù)學家華羅庚先生十分贊賞‘退’中求進的解題策略，我們不妨把問題‘退’到較為簡單的情況：小數(shù)字的神秘數(shù)4，12，20有什么規(guī)律，再根據(jù)這個規(guī)律來判斷2012是否為神秘數(shù).”

小琳點頭表示贊同：“哦，這個思路不錯！我發(fā)現(xiàn)神秘數(shù)4，12，20都是4的倍數(shù).”接著她在黑板上寫出：

4=4×1=2²-0²，12=4×3=4²-2²，20=4×5=6²-4².

小剛也不甘示弱，他搶著說：“我也發(fā)現(xiàn)神秘數(shù)4，12，20是4的奇數(shù)倍，把它們寫成兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差時，較大的偶數(shù)比奇數(shù)大1，而較小的偶數(shù)比相應(yīng)的奇數(shù)小1.”

一聲不響的小娜也搶著說：“小琳和小剛說得對極啦！12=4×3=4²-2²，的確可以把神秘數(shù)12看作奇數(shù)3的4倍，也可以把12看作是4的奇數(shù)倍（3倍）.把12寫成兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差時，較大的偶數(shù)4比相應(yīng)的奇數(shù)3大1，較小的偶數(shù)2比相應(yīng)的奇數(shù)3小1.”

小明說：“能否把這個規(guī)律一般化呢？”

小嚴說：“完全可以！我們可以借助完全平方公式來化簡.不妨設(shè)k為非負整數(shù)，則2k和2k+2為兩個連續(xù)偶數(shù).”接著他在黑板上寫出：

（2k+2）²-（2k）²=4（2k+1）.

他接著說：“等式的左邊是兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，是一個神秘數(shù)，等式的右邊是4的奇數(shù)倍，也就是說，神秘數(shù)是4的倍數(shù)，但不是8的倍數(shù)，這就是神秘數(shù)的性質(zhì).”

性急的小婷也搶著說：“這個等式還為我們判別一個數(shù)是否為神秘數(shù)提供了方便.我們可以令4（2k+1）=2012，解得2k=502.則2k+2=504，代入等式，可得2012=504²-502²，所以2012是個神秘數(shù).”

看到問題完滿解答，組長小明高興地說：“我們不應(yīng)滿足于這些成果，請大家再考慮這樣一個問題：兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差（取正數(shù)）是神秘數(shù)嗎？為什么？”

小亮是本班的“數(shù)學通”，他胸有成竹地說：“我們已經(jīng)知道，神秘數(shù)可表示為4（2k+1），因為2k+1是奇數(shù)，因此神秘數(shù)是4的倍數(shù)，但一定不是8的倍數(shù)；另一方面，設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)為2n+1和2n-1（n為正整數(shù)），則（2n+1）²-（2n-1）² =8n，即兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù).因此，兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差不是神秘數(shù).”

本文所涉及的問題，也是2006年浙江省的一道中考題.解這一類探索題的關(guān)鍵是從特殊情況里發(fā)現(xiàn)規(guī)律，用含有字母的代數(shù)式表示其中的規(guī)律，然后根據(jù)這個一般的規(guī)律解決具體的問題.這種方法請同學們務(wù)必掌握.