[摘要] 本文簡要微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理科學(xué)等實(shí)際問題中的數(shù)學(xué)建模問題，例如邏輯斯諦(Logistic)方程是一種在許多領(lǐng)域中有著廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)模型，人口的增長、新產(chǎn)品的推廣、人才的分配、價(jià)格的調(diào)整中我們可以感受到應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的理論和方法解決實(shí)際問題的魅力。

[關(guān)鍵詞] 微分方程 數(shù)學(xué)建模 經(jīng)濟(jì)應(yīng)用

微分方程是一門獨(dú)立的數(shù)學(xué)學(xué)科，有完整的數(shù)學(xué)體系，微分方程是數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際，并應(yīng)用與實(shí)際的重要橋梁，是各個(gè)學(xué)科進(jìn)行科學(xué)研究的強(qiáng)有力的工具。微分方程在物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理科學(xué)等實(shí)際問題中具有廣泛的應(yīng)用，如果說“數(shù)學(xué)是一門理性思維的科學(xué)，是研究、了解和知曉現(xiàn)實(shí)世界的工具”，那么微分方程就是顯示數(shù)學(xué)的這種威力和價(jià)值的一種體現(xiàn)，現(xiàn)實(shí)世界中的許多實(shí)際問題都可以抽象為微分方程的問題，例如物體的冷卻、人口的增長、琴弦的震動(dòng)、電磁波的傳播、人才的分配、價(jià)格的調(diào)整等，都可以歸結(jié)為微分方程的問題，從中我們可以感受到應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的理論和方法解決實(shí)際問題的魅力。

一、邏輯斯諦(Logistic)方程

邏輯斯諦(Logistic)方程是一種在許多領(lǐng)域中有著廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)模型，下面借助樹的增長來建立該模型。

一棵小樹剛栽下去的時(shí)候長的比較慢，漸漸地，小樹長高了而且長的越來越快，幾年不見，綠蔭底下已經(jīng)可以乘涼了，但長到某一高度后，它的生長速度趨于穩(wěn)定，然后再慢慢降下來。下面建立這種現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。

如果假設(shè)樹的生長速度與它目前的高度成正比，則顯然不符合兩頭尤其是后期的生長情形，因?yàn)闃洳豢赡茉介L越快；但如果假設(shè)樹的生長速度正比于最大高度與目前高度的差，則又明顯不符合中間一段的生長過程。折中一下，假設(shè)樹的生長速度既與目前的高度呈正比，又與最大高度與目前高度的差成正比。

數(shù)學(xué)建模:設(shè)小樹生長的最大高度為H(m)，在t(年)時(shí)的高度為x(t)，則有

其中k>0是比例常數(shù)，稱此方程為邏輯斯諦(Logistic)方程

解微分方程:分離變量得

兩邊積分 得

整理得

故邏輯斯諦(Logistic)方程的通解為 (其中的c是正常數(shù))

通解函數(shù)的圖像成為Logistic曲線。另外這說明樹的增長有一個(gè)限制，因此也稱為限制性模式。邏輯斯諦(Logistic)方程除了應(yīng)用于生物種群的繁殖外，還應(yīng)用于信息的傳播、新技術(shù)的推廣、傳染病的擴(kuò)散以及商品的銷售等等。

1.人口阻滯增長模型:1837年，荷蘭生物學(xué)家Verhulst提出一個(gè)人口模型

y(t0)=t0 其中k，b稱為生命系數(shù)。

符合邏輯斯諦(Logistic)方程的模型，通解為

某國家人口增長滿足邏輯斯諦(Logistic)方程，其中b=275（百萬），c=54，y的單位是年，根據(jù)這些數(shù)據(jù)可求出再過100年該國的人口數(shù)。

因?yàn)榘岩陨蠑?shù)據(jù)代入得

即再過100年，該國的人口數(shù)為5千萬。

2.新產(chǎn)品的推廣模型:設(shè)有某種新產(chǎn)品要推向市場，t時(shí)刻的銷量為x(t)，由于產(chǎn)品性能良好，每個(gè)產(chǎn)品都是一個(gè)宣傳品，因此，t時(shí)刻產(chǎn)品銷量的增長率與x(t)成正比，同時(shí)，考慮到產(chǎn)品銷量存在一定的市場容量N，統(tǒng)計(jì)表明與尚未購買該產(chǎn)品的潛在顧客的數(shù)量N-x(t)也成正比，于是有

符合邏輯斯諦(Logistic)方程的模型，通解

當(dāng)x(t*)

研究與調(diào)查表明:許多產(chǎn)品的銷售曲線與Logistic曲線十分接近，許多分析家認(rèn)為，在新產(chǎn)品推出的初期，應(yīng)采用小批量生產(chǎn)并加強(qiáng)廣告宣傳，而在產(chǎn)品用戶達(dá)到20%到80%期間，產(chǎn)品應(yīng)大批量生產(chǎn)，在產(chǎn)品用戶超過80%時(shí)，應(yīng)轉(zhuǎn)產(chǎn)。

二、國民收入與國民債務(wù)問題的模型

某地區(qū)在一個(gè)已知的時(shí)期內(nèi)國民收入的增長率為，國民債務(wù)的增長率為國民收入的若t=0時(shí)，國民收入為5(億元)，國民債務(wù)為0.1(億元)，試求國民收入及國民債務(wù)與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系

設(shè)國民收入函數(shù)為y(t)，由條件知

所以得國民收入函數(shù)因?yàn)閠=0時(shí)，y=5 得 c=5

故國民收入函數(shù)

設(shè)國民債務(wù)函數(shù)D(t)，由已知

解此微分方程得

由t=0時(shí)，D=0.1得c=0.1

故國民債務(wù)函數(shù)為

三、價(jià)格調(diào)整問題

某商品在時(shí)刻t的售價(jià)為P，社會對該商品的需求量和供給量分別是P的函數(shù)Q(P），S(P），則在時(shí)刻t的價(jià)格P(t)對于時(shí)間t的變化率可以認(rèn)為與該商品在同一時(shí)刻的超額需求量Q(P)—S(P)成正比，即有微分方程

在Q(P)和S(P)確定情況下，可以解出價(jià)格P(t)與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系，這就是商品的價(jià)格調(diào)整模型

某種商品的價(jià)格變化主要服從市場供求關(guān)系，一般情況下，商品供給量S是價(jià)格P的單調(diào)遞增函數(shù)，商品需求量Q是價(jià)格P的單調(diào)遞減函數(shù)，為簡單起見，該商品的供給函數(shù)與需求函數(shù)分別為

s(p)=a + bp， Q(p)=α—βp(1)

其中a，b，α，β均為常數(shù)，且b>0，β>0.

當(dāng)供給量與需求量相等時(shí)，由式(1)可得供求平衡時(shí)的價(jià)格

并稱Pe為均衡價(jià)格。

一般情況下，當(dāng)某種商品供不應(yīng)求，即S

其中k<0，用來反映價(jià)格的調(diào)整速度。

將(1)代入方程，可得 (2)

其中常數(shù)λ=(b+β)k>0，方程(2)的通解為

假設(shè)初始價(jià)格P(0)=P0，代入上式，得C=p0—Pe，于是上述價(jià)格的調(diào)整模型的解為

由于λ>0知，t→+∞時(shí)，p(t)→Pe。說明隨著時(shí)間不斷推延，實(shí)際價(jià)格p(t)將逐漸趨近均衡價(jià)格Pe

四、人才分配問題

每年大學(xué)生都要有一定比例的人員分配教育部們充實(shí)教育隊(duì)伍，其余人員將分配到國民經(jīng)濟(jì)其他部門從事經(jīng)濟(jì)和管理工作。設(shè)t年教師人數(shù)為x1(t），科學(xué)技術(shù)和管理人員人數(shù)為x2(t)，又設(shè)1個(gè)教員每年平均培養(yǎng)α個(gè)畢業(yè)生，每年從教育、科技和經(jīng)濟(jì)管理崗位上退休、死亡或調(diào)出人員的比率為δ(0<δ<1），β表示每年大學(xué)畢業(yè)生中從事教師職業(yè)所占比率(0<β<1），于是得到模型（1）、（2）

（1）

（2）

方程(1)的通解為

若設(shè)x1(0)=x01，則于是，得到方程(1)的一個(gè)特解

將上式代入方程(2），得

方程(2)的通解為

若設(shè)x2(0)=x，則，從而得到上述方程的特解

上述兩個(gè)特解分別表示在初始人數(shù)為x1(0)和x2（0）的情形，對應(yīng)于β的取值，在t年教師隊(duì)伍的人數(shù)和科技經(jīng)濟(jì)管理人員的人數(shù)。從結(jié)果易見，如果β=1，即畢業(yè)生全部留在教育界，則當(dāng) t→∞時(shí)，由于α>δ，必有x1(t)→+∞而x2(t)→0，說明教師隊(duì)伍將迅速增加。而科技和經(jīng)濟(jì)管理隊(duì)伍不斷萎縮，勢必要影響經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，反之也會影響教育的發(fā)展，如果將β接近于零，則x1(t)→0，同時(shí)也導(dǎo)致x2(t)→0，說明如果不保證適當(dāng)比例的畢業(yè)生充實(shí)教師隊(duì)伍，將影響人才的培養(yǎng)，最終會導(dǎo)致兩支隊(duì)伍全面的萎縮，因此，選擇好比率β，將關(guān)系到兩支隊(duì)伍的建設(shè)，以及整個(gè)國民經(jīng)濟(jì)建設(shè)的大局。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。