摘要：文章首先介紹了建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟與方法，通過具體實例討論了Matlab在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用。將Matlab應(yīng)用在數(shù)學(xué)建模中，可以非常方便地求解模型，從而提高了數(shù)學(xué)建模的效率與質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；Matlab

近幾十年來，數(shù)學(xué)科學(xué)迅速向自然科學(xué)、工程、經(jīng)濟、管理和社會科學(xué)等各個領(lǐng)域滲透，在許多方面發(fā)揮著越來越重要的作用，在很多情況下起著舉足輕重、甚至決定性的作用；數(shù)學(xué)建模和與之相伴的計算正在成為工程設(shè)計中的關(guān)鍵工具，數(shù)學(xué)科學(xué)與計算機技術(shù)結(jié)合，形成了一種普遍的、可以實現(xiàn)的關(guān)鍵技術(shù)——數(shù)學(xué)技術(shù)，并已經(jīng)成為當(dāng)代高新技術(shù)的一個重要的組成部分?！案呒夹g(shù)本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)”已為越來越多的人們所認(rèn)同。用數(shù)學(xué)方法解決各類問題或?qū)嵤?shù)學(xué)技術(shù)，首先要求將所考慮的問題數(shù)學(xué)化，即建立數(shù)學(xué)模型，這就使數(shù)學(xué)建模日益顯示其關(guān)鍵作用，成為現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個重要領(lǐng)域。Matlab這一數(shù)學(xué)軟件能夠非常方便、快捷、高效的解決數(shù)學(xué)建模所涉及的眾多實際問題，其功能和規(guī)模比其他數(shù)學(xué)軟件強大的多。本文主要通過具體實例討論Matlab在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，增強解決實際問題的能力。

一、數(shù)學(xué)建模的一般步驟

數(shù)學(xué)建模并不是新東西，粗略地說，數(shù)學(xué)建模是一個多次迭代的過程，每一次迭代大體上包括：實際問題的抽象、簡化，做出假設(shè)，明確變量和參數(shù)；形成明確的數(shù)學(xué)問題；以解析形式或者數(shù)值形式求解該數(shù)學(xué)模型；對結(jié)果進行解釋、分析以及驗證；若符合實際即可，不符合實際則要進行修改，進入下一個迭代。其一般過程如圖1所示。

第一，模型準(zhǔn)備。了解實際背景，明確建模目的，搜集有關(guān)信息，掌握對象特征，形成一個比較清晰的“問題”。第二，模型假設(shè)。針對問題特點和建模目的，做出合理的、簡化的假設(shè)。在合理與簡化之間作出折中。對數(shù)據(jù)資料進行分析計算，找出起主要作用的因素，經(jīng)過必要的精煉、簡化，提出若干符合客觀實際的假設(shè)。第三，模型構(gòu)成。用數(shù)學(xué)的語言、符號描述問題。發(fā)揮想象力，使用類比法。盡量采用簡單的、適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具表達各變量之間的關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，即建立數(shù)學(xué)模型。第四，模型求解。利用各種數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)軟件和計算機技術(shù)。在難以得出解析解時，借助計算機求出數(shù)值解。第五，模型分析。結(jié)果的誤差分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析。第六，模型檢驗。與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性。第七，模型應(yīng)用。通過檢驗，模型與實際相符后，投入實際應(yīng)用，解決實際問題。

二、Matlab的功能與特點

Matlab是美國MathWorks公司自20世紀(jì)80年代中期推出的數(shù)學(xué)軟件，優(yōu)秀的數(shù)值計算能力和卓越的數(shù)據(jù)可視化能力使其很快在數(shù)學(xué)軟件中脫穎而出。隨著數(shù)值運算的演變，它逐漸發(fā)展成為各種系統(tǒng)仿真、數(shù)字信號處理、科學(xué)可視化的通用標(biāo)準(zhǔn)語言。在科學(xué)研究和工程應(yīng)用的過程中，往往需要大量的數(shù)學(xué)計算，傳統(tǒng)的紙筆和計算機已經(jīng)不能從根本上滿足海量計算的要求，一些技術(shù)人員嘗試使用Basic、Fortran、C、C++等語言編寫程序來減輕工作量。但編程不僅僅需要掌握所用語言的語法，還需要對相關(guān)算法進行深入分析，這對大多數(shù)科學(xué)工作者而言有一定的難度。與這些語言相比，Matlab的語法更簡單，更貼近人的思維方式。用Matlab編寫程序，猶如在一張演算紙上排列公式和求解問題一樣，因此被稱為“科學(xué)便箋式”的科學(xué)工程計算語言。Matlab是集數(shù)值計算、符號運算、圖形處理及程序設(shè)計等強大功能于一體的，已經(jīng)發(fā)展成為多學(xué)科、多種工作平臺的科學(xué)和工程計算軟件。

Matlab的主要特點是：有高性能數(shù)值計算的高級算法，特別適合矩陣代數(shù)領(lǐng)域；有大量事先定義的數(shù)學(xué)函數(shù)，并且有很強的用戶自定義函數(shù)功能；有強大的繪圖功能以及具有教育、科學(xué)和藝術(shù)學(xué)的圖解和可視化的二維、三維；基于HTML的完整的幫助功能；適合個人應(yīng)用的強有力的面向矩陣(向量)的高級程序設(shè)計語言；能與其它語言編寫的程序結(jié)合，輸入、輸出格式化數(shù)據(jù)；有在多個應(yīng)用領(lǐng)域解決難題的工具箱。

三、Matlab在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例

正因為Matlab這一數(shù)學(xué)軟件能夠非常方便、快捷、高效地解決數(shù)學(xué)建模所涉及的眾多實際問題，因此，Matlab在數(shù)學(xué)建模中為許多建模工作者重視。

例1：（包含無風(fēng)險證券的投資組合問題）

金融市場上有兩種證券：風(fēng)險證券和無風(fēng)險證券。我們一般稱風(fēng)險證券為股票，其收益率不確定；無風(fēng)險證券稱為債券，其收益率是確定的。通常情況下，無風(fēng)險利率也可以認(rèn)為是國有銀行的存貨款利率。

設(shè)金融市場上有兩種風(fēng)險證券A和B，它們的期望收益率分別為 A=12%、 B=12% ，方差分別為σ2A＝10 ，σ2B＝10，協(xié)方差σ2AB＝0。同時，市場上還有一種無風(fēng)險債券，利率為rｆ＝6%，試構(gòu)造一種投資組合，使得風(fēng)險最小。

解：分析與假設(shè)：假設(shè)市場上有N種風(fēng)險證券和一種無風(fēng)險證券，以x=(x1，x2，…，xN)T表示N種風(fēng)險證券上的投資比例，則1-xTI就是在債券上的投資比例。

模型的建立：對給定的N種風(fēng)險證券的期望收益率 i和風(fēng)險σi2及協(xié)方差σij(i，j=1，2，…N，i≠j)，無風(fēng)險債券的期望收益率 rf，如果給定投資組合的期望收益率 p，則可以求出投資比例x，使得投資收益率的協(xié)方差σp2最小，可以轉(zhuǎn)化為求解如下規(guī)劃問題：

其中v為協(xié)方差矩陣，I為N維單位向量。

設(shè)總資本單位為1，分別以比例x1購買股票A，x2購買股票B，x3購買無風(fēng)險債券，則可以建立如下的規(guī)劃問題：

其中

因為債券無風(fēng)險，所以方差、協(xié)方差都為0， rp為投資組合的期望收益率。

根據(jù)兩基金分離定理，任意指定一個期望收益率rp如令rp=10%目標(biāo)函數(shù)為二次的，約束條件為一次的。應(yīng)用Lagrange數(shù)乘法，得到

x1=6/19，x2=20/19，x3=-7/19

也就是說，為了獲得10％的期望收益率，應(yīng)以無風(fēng)險利率從銀行貸款7/19單位，將貸款和手中已有的1單位現(xiàn)金的總和的6/19購買A股票，20/19購買B股票。

由于這并不是標(biāo)準(zhǔn)的線性規(guī)劃問題，需要用到Lagrange數(shù)乘法，進而求解線性方程組。

例2：（極大似然估計的原理：關(guān)于廢品率的問題）

廠家每生產(chǎn)一批產(chǎn)品，總有正品或廢品的區(qū)分，那么我們自然關(guān)心每批產(chǎn)品的廢品率的問題。例如，某質(zhì)檢員在某批產(chǎn)品中抽取50件產(chǎn)品進行檢驗，根據(jù)以往經(jīng)驗將產(chǎn)品質(zhì)量分為6個檔次，對應(yīng)廢品率分別為0.01、0.02、0.03、0.04、0.05、0.06。現(xiàn)在質(zhì)檢員要對50件產(chǎn)品檢查的結(jié)果，決定該批產(chǎn)品檔次，我們?yōu)樗峁┮环N合理方案。

解：分析與假設(shè)：模擬抽樣數(shù)據(jù)。設(shè)想有一批產(chǎn)品，可以設(shè)定它們的檔次，例如設(shè)廢品率為p=0.04。隨機抽取n=50個樣品檢驗。

一件產(chǎn)品非正即廢，用統(tǒng)計術(shù)語以隨機變量X表示這一事實，則有X=10 ，其中1表示產(chǎn)品為廢品，反之為正品，顯然X服從兩點分布，即p(x=1)=p，p(x=0)=q=1-p ，稱X為總體，它的分布為總體分布?？傮w分布決定了產(chǎn)品的檔次，p的取值范圍是0.01、0.02、0.03、0.04、0.05、0.06。

質(zhì)檢員對產(chǎn)品n次抽樣相當(dāng)于對總體X復(fù)制了n次，得到了n 個獨立同分布的隨機變量X1，X2ΛXn。X1，X2ΛXn稱為容量為n的簡單樣本，n次抽樣就相當(dāng)于對總體X作n次模擬。模擬的結(jié)果相當(dāng)于得到了簡單樣本的一組樣本觀察值x1，x2Λxn。

似然函數(shù)L(p)的定義如下：

要注意的是，因xi僅取0或1的值，故P(Xi=xi)=pxiq1-xi=p xi=11-pxi=0所以pxiq1-xi是兩點分布的另一種表示。

當(dāng)質(zhì)檢員獲得一批樣本，需要根據(jù)樣本推斷p的哪一個值更接近真實總體。顯然，應(yīng)該有一個度量指標(biāo)來衡量未知參數(shù)和總體的相似性，似然函數(shù)正是這樣的相似指標(biāo)，由上式得知：L（p）是簡單樣本X1，X2…Xn取值于某個特定觀察值x1，x2…xn的聯(lián)合概率，而x1，x2…xn反映了真實總體X的某些特征。因此，對于p的兩個可能取到的值p1，p2，如果有L（p1）＜L（p2），則p2更像總體，因此，如果某個p0使L（p）達到了最大值，則它最像真實總體，我們把這個p0 作為真實廢品率的估計，這就是極大似然估計。六個似然函數(shù)的最大值為L(0.04)=max L(p)=0.0002255， 即似然函數(shù)的最大值恰好在該產(chǎn)品的真實廢品率為0.04時達到。

四、結(jié)論

從以上優(yōu)化問題和高等統(tǒng)計學(xué)問題這兩個實例中，可以看出Matlab在數(shù)學(xué)建模中的巨大優(yōu)勢，充分顯現(xiàn)出了其強大的數(shù)值計算、數(shù)據(jù)處理和圖形處理功能，無論是在建立模型的哪個階段，Matlab都有其他語言無法比擬的高效、快捷、方便的功能，大大提高了數(shù)學(xué)建模的效率，豐富了數(shù)學(xué)建模的方法和手段，有力地促進了問題的解決。另外，將Matlab應(yīng)用于實際的教學(xué)過程中，可以激發(fā)學(xué)員學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和熱情，從而提高學(xué)員運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識分析、解決實際問題的能力。

參考文獻：

1、姜啟源.數(shù)學(xué)模型[M].高等教育出版社，1993.

2、飛思科技產(chǎn)品研發(fā)中心.Matlab7基礎(chǔ)與提高[M].電子工業(yè)出版社，2005.

（作者單位：武漢軍事經(jīng)濟學(xué)院基礎(chǔ)部）

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>