[摘要] 本文驗證了上證指數(shù)具有正的Lyapunov指數(shù)，說明上證股市存在奇異吸引子。這表明對股票價格的長期預(yù)測是不可能的。

[關(guān)鍵詞] 吸引子 混沌 Lyapunov指數(shù) 關(guān)系維數(shù)

一、國內(nèi)外學(xué)者對股價波動的研究

股票市場有效性EMH(Efficient Market Hypothesis)的研究是股票市場研究的基本問題之一，是現(xiàn)代股票市場的奠基理論。股票市場有效性理論的產(chǎn)生與發(fā)展是一個漸進的過程。1953年英國統(tǒng)計學(xué)家Kendall在其《經(jīng)濟時間序列分析，第一篇:價格》一文中研究了19種英國工業(yè)股票價格指數(shù)和紐約、芝加哥商品交易所的棉花、小麥的即期價格周期變化規(guī)律，在做了大量序列相關(guān)分析后，發(fā)現(xiàn)這些序列就像在隨機漫步一樣，下一周的價格是前一周的價格加上一個隨機數(shù)構(gòu)成，提出了股票價格遵循一種隨機游走(RandomWalk)模式。1959年Roberts揭示了這些股票市場研究和金融分析的結(jié)論所隱含的意義。Kendall、Working和Roberts提出的投機價格序列雖然可以用隨機游走模型的觀點進行很好描述，但他們并沒有對這些假設(shè)進行合理的經(jīng)濟學(xué)解釋。

二、相關(guān)概念

1.奇異吸引子

一個耗散系統(tǒng)，由于耗散因素的作用，隨著時間的增長，相體積不斷地收縮，所以耗散是一種整體的穩(wěn)定因素，它使運動軌道穩(wěn)定地收縮到吸引子上。如果在相體積收縮的同時，沿某一方向的運動出現(xiàn)局部不穩(wěn)定，那么怎樣才能在有限的幾何對象上實現(xiàn)指數(shù)分離呢?那就只得將運動軌道無窮折疊、扭曲和拉伸，從而構(gòu)造出一種新的幾何對象，即奇異吸引子。所以奇異吸引子是整體穩(wěn)定和局部不穩(wěn)定共同作用的產(chǎn)物。而對奇異吸引子的刻畫主要是Lyapunov指數(shù)和分?jǐn)?shù)維。

2.Lyapunov指數(shù)

考慮一個n維的動力系統(tǒng)。選一個點，并取一個中心在該點的一個小的n維的球，隨著時間的增加，球?qū)⒆冃纬蔀橐粋€近似的橢球。在球的初始直徑趨向于零的極限情況下，映像保持與橢球相同的時間將趨向于無窮大。用數(shù)學(xué)公式來描述如下：

對于一個n維系統(tǒng)來說，Lyapunov指數(shù)為

W(t)為切向量，W(0)為初始誤差，LE代表相鄰軌道在相空間的平均指數(shù)輻散率，LE的各個分量就是Lyapunov指數(shù)，將它們從大到小排列

稱這n個數(shù)為Lyapunov指數(shù)的譜，其中LE1稱為最大的Lyapunov指數(shù)。如果系統(tǒng)是混沌的，則至少有一個指數(shù)是正的，所以只要求出最大Lyapunov指數(shù)為正，則可證明系統(tǒng)是混沌的。

對于n維的股票價格系統(tǒng)來說，正的最大Lyapunov指數(shù)意味著至少存在一個因素，如果該因素有個微小的變化，在系統(tǒng)各因素非線性的相互作用下，經(jīng)過一定時間的演化，這種改變將會指數(shù)倍放大，表現(xiàn)為價格的劇烈波動。這種對初始值的敏感表明了系統(tǒng)是混沌的。

5.分?jǐn)?shù)維

刻畫吸引子的另一個指標(biāo)是分?jǐn)?shù)維。它表示相空間中的吸引子是一個具有非整數(shù)維的幾何體，具有自相似結(jié)構(gòu)。自相似性是分形的本質(zhì)，分?jǐn)?shù)維是度量自相似性的特征量。這種自相似指曲線的整體與局部的自相似性。維數(shù)有許多種不同的定義或度量方法，本文采用的是關(guān)聯(lián)維數(shù)。1983年，Grassberger和Procaccia利用了嵌入理論，提出了用時間序列直接計算關(guān)聯(lián)維數(shù)的算法，簡稱G-P算法，吸引子的關(guān)聯(lián)維數(shù)可表述為：

三、實證分析

1.樣本選擇

為了獲得相互映證的效果，在選取了上海綜合指數(shù)和深圳成份指數(shù)周收盤價的基礎(chǔ)上，還分別從上海股市和深圳股市各選取了10只股票，樣本區(qū)間為1992年12月28日到2005年3月31日，樣本數(shù)為720。

2.計算關(guān)聯(lián)維數(shù)

筆者編寫了C語言程序來計算關(guān)聯(lián)維數(shù)。在計算關(guān)聯(lián)維數(shù)時，需要注意兩個問題，一個是延遲時間的選取，一個是r值的選取。關(guān)于延遲時間的選取基于下面的原則，即相空間內(nèi)元素之間的相關(guān)性最弱。測量碼尺r存在一個合理的取值范圍。一般說來，r取值的上限為N2m/2，r值也不能取太小，因為r值太小數(shù)據(jù)會受到噪聲的影響。根據(jù)這個原則筆者選取了一些r值，然后把所有求出的關(guān)聯(lián)積分的對數(shù)序列和r的對數(shù)序列進行回歸，得到的回歸直線的斜率就是所求的關(guān)聯(lián)維數(shù)。當(dāng)m逐漸增大時，關(guān)聯(lián)積分的逐漸收斂。在m=26時，關(guān)聯(lián)維數(shù)穩(wěn)定于3.61。

3.計算Lyapunov指數(shù)

對于給定函數(shù)關(guān)系的系統(tǒng)來說，Lyapunov指數(shù)可以采用定義法來計算。但對于未知系統(tǒng)來說，計算該指數(shù)有Wolf方法、Jacobian方法和p-范數(shù)方法。筆者據(jù)此編寫了算法，當(dāng)我們?nèi)ˇ?6，每步運行時間t=6，得最大Lyapunov指數(shù)收斂于0.0025。這個正的Lyapunov指數(shù)說明股票價格波動中的吸引子為對初始條件具有敏感性的奇異吸引子。吸引子這種對初始條件敏感的性質(zhì)說明上證股指價格波動具有明顯的混沌現(xiàn)象。

股票價格吸引子對初始條件的敏感性使得系統(tǒng)價格長期預(yù)測成為不可能，只有可能做出短期的預(yù)測。

四、結(jié)論

股票價格的波動中存在吸引子，該吸引子是具有分?jǐn)?shù)維和敏感依賴性的奇異吸引子。股票價格的波動不是雜亂無章的隨機波動，它趨于低維的吸引子從而使整個股價系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出一種穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，但由于奇異吸引子的特性使股價會在某種狀態(tài)下產(chǎn)生劇烈波動，并且內(nèi)部結(jié)構(gòu)也可能產(chǎn)生突變，因此對股票價格的長期預(yù)測是不可能的。

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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。