[摘要] 灰色馬爾可夫模型預(yù)測兼有灰色預(yù)測和馬爾可夫鏈預(yù)測的優(yōu)點，并能針對較短的時間序列數(shù)據(jù)建模計算。介紹了灰色預(yù)測模型和馬爾可夫預(yù)測模型的建模方法，并將灰色馬爾可夫鏈模型應(yīng)用于某企業(yè)盈利分析預(yù)測。分析表明，該模型具有較強的適用性。

[關(guān)鍵詞] 灰色馬爾可夫鏈 預(yù)測

一、引言

灰色模型是灰色預(yù)測理論的一種重要預(yù)測方法，它的突出優(yōu)點是適用于預(yù)測時間短、數(shù)據(jù)資料少、波動不大的系統(tǒng)對象，只需很少的數(shù)據(jù)就可建立模型進行預(yù)測?；疑A(yù)測可以較精確地預(yù)測系統(tǒng)的發(fā)展趨勢，但是由于預(yù)測線是一條光滑的指數(shù)曲線，因而對于波動性大的系統(tǒng)的預(yù)測精度會降低。馬爾可夫轉(zhuǎn)移概率預(yù)測可以揭示系統(tǒng)在波動的不同狀態(tài)區(qū)間轉(zhuǎn)移的內(nèi)在規(guī)律，修正系統(tǒng)因各種隨機作用而產(chǎn)生的波動?；疑R爾可夫模型由于綜合了灰色預(yù)測和馬爾克夫預(yù)測的優(yōu)點，其在時間序列的預(yù)測方面具有突出的優(yōu)勢。

二、灰色馬爾可夫鏈模型預(yù)測

1.灰色預(yù)測模型

灰色模型是利用微分方程給出系統(tǒng)生成序列長期、持續(xù)的變化過程，這一過程通過生成序列轉(zhuǎn)換得到，還原生成序列就得到系統(tǒng)趨勢作用。由于灰色模型是基于弱隨機性假設(shè)和顯著關(guān)聯(lián)度的要求，所以灰色模型的檢驗包括:殘差檢驗，后驗差檢驗和關(guān)聯(lián)度檢驗，通常全部檢驗都通過的模型就可以用來做預(yù)測，模型檢驗不能通過時，對殘差建立的修正模型可以提高灰色模型的精度。GM (1，1)在灰色預(yù)測模型中最常用。

為了弱化原始時間序列的隨機性， 為建立灰色模型提供信息，在建立灰色預(yù)測模型之前，先要對數(shù)據(jù)進行處理， 做累加生成序列。設(shè)原始時間序列為

，則累加生成序列為:。然后對生成序列建立如下微分方程:。其中:模型參數(shù)a，μ分別是發(fā)展灰度和內(nèi)生控制灰度。微元離散化后微分方程參數(shù)估計的矩陣形式為：

，其中:

解微分方程得:

則累減還原得到擬合序列為:

擬合序列可以反映系統(tǒng)原始序列的變化趨勢。再采用后驗差法對模型進行精度檢驗。

2.馬爾可夫預(yù)測模型

(1)馬爾可夫鏈

設(shè)有隨機過程(T表示時刻的集合)和離散的狀態(tài)集，若對任意的整數(shù)，條件概率滿足:

則稱為馬爾可夫鏈，并記:表示在時刻m，系統(tǒng)處于狀態(tài)i的條件下，在時刻m+k，系統(tǒng)處于狀態(tài)j下的概率。將依次排序，可得k階轉(zhuǎn)移概率矩陣:

(2)狀態(tài)空間的確定

一般地， 狀態(tài)取灰色模型擬合曲線為中心上下對稱的等寬條形帶，各條形帶寬度不隨時間變化。每個條形區(qū)域構(gòu)成一個狀態(tài)，其中任一狀態(tài)區(qū)間Qi表達為:

式中，Ai、Bi為根據(jù)預(yù)測值與實測值的偏移大小確定的參數(shù)。由于是時間t的函數(shù)，也隨時序變化， 即狀態(tài)Qi具有動態(tài)性。

(3)估計狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

設(shè)數(shù)據(jù)序列由狀態(tài)Qi經(jīng)過k步轉(zhuǎn)移到Qj的次數(shù)為，狀態(tài)Qi出現(xiàn)的次數(shù)為mi，則可估計出k步轉(zhuǎn)移概率:。這里，對于出現(xiàn)觀測的狀態(tài)，轉(zhuǎn)移矩陣的估計等于頻率，對于那些沒有觀測落入的狀態(tài)， 記樣本估計為零，不影響模型的擬合與預(yù)測。

3.計算預(yù)測值

若預(yù)測序列目前處于Qi狀態(tài)，則考察P(1)的第i行，如果為其中的最大值，那么下一時刻序列最有可能轉(zhuǎn)向狀態(tài)Qj。一般情況下，只要考察P(1)便可解決。如果P(1)的第i行有兩個或兩個以上的概率值相同或相近時，狀態(tài)的未來轉(zhuǎn)向難以確定，此時可以適當(dāng)考察來確定。當(dāng)確定未來序列預(yù)測值變動的灰區(qū)間后，可以用區(qū)間的中位數(shù)作為最終的預(yù)測值:。

三、預(yù)測模型在企業(yè)盈利預(yù)測中的應(yīng)用

1.原始統(tǒng)計數(shù)據(jù)

某企業(yè)近11年的盈利總額統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 盈利總額統(tǒng)計數(shù)據(jù)

2.建立灰色模型

由＝{7590，7458，7689，8573，8215，8986，9013，10353，11821，12304，13755}，計算得參數(shù)。建立模型并求解得到方程:。

對預(yù)測結(jié)果的精度進行檢查，得到:，，則，小誤差概率，所以預(yù)測精度等級為優(yōu)良。

3.轉(zhuǎn)移狀態(tài)劃分和轉(zhuǎn)移狀態(tài)概率計算

根據(jù)歷年統(tǒng)計數(shù)據(jù)，劃分為如下四個狀態(tài)：

將歷年實測值、預(yù)測值和四個劃分狀態(tài)繪制成圖，形成上下平行對稱的四個條形區(qū)域。由圖可得到轉(zhuǎn)移狀態(tài)概率矩陣如下：

確定預(yù)測值及其變動區(qū)間：

考察一步轉(zhuǎn)移概率P(1)可知，2006年的年均盈利總額最有可能處于狀態(tài)Q3，即在灰區(qū)間[14225.1，14705.8]。因此，。

四、結(jié)束語

由于灰色模型反映了系統(tǒng)宏觀發(fā)展的規(guī)律，而馬爾可夫轉(zhuǎn)移概率模型反映了系統(tǒng)微觀波動的規(guī)律，兩者相結(jié)合建立的灰色馬爾柯夫模型兼有各自的優(yōu)點，又充分利用了歷史數(shù)據(jù)賦予的信息，其預(yù)測結(jié)果具有較好的精度和可靠性，具有較高的應(yīng)用價值。

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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。