張志明

數學核心素養(yǎng)是以邏輯推理為核心，數學抽象形成概念知識，直觀想象輔助思維分析，數學建模還原數學真實，數學運算得以解模和問題解決.數據分析是新時代的產物，也是未來數學發(fā)展的高度.以數學問題為核心，發(fā)展學生的數學核心素養(yǎng)，培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的時代新人是數學教學的根本任務.

人的發(fā)展本質上是思維能力的培養(yǎng).而解題中的思維訓練往往是碎片式的，缺乏整體感和基本模式，怎樣才能將碎片化思維梳理得紋理有致？思維導圖的作用不可小覷.

例1（2015年山東卷）設，其中.

討論的極值點個數，并說明理由;

若，都成立，求取值范圍.

【思維導圖分析】

◆解題通法

設

①時，，在（-1，+∞）上單調遞增，無極值點

②時，

i）時，，，在（-1，+∞）上單調遞增，無極值點

ii）時，

的兩根滿足

單調遞增

單調遞減

單調遞增

有兩個極值點

iii）時，

單調遞增

單調遞減

所以只有一個極值點

綜上：時，無極值點

時，只有一個極值點

時有兩個極值點.

★思維提升

與極值點有關的問題，離不開導數的工具作用。體現了化歸轉化思想的無限魅力，極值點轉化為方程，方程要么直接求解（解答題沒有可能），要么繼續(xù)轉化.通法是轉化為的導函數的零點問題，秒殺法是轉化為兩個熟悉的函數的交點問題，數形結合說明理由.

【解題思維導圖】

◆解題通法一

由（1）知：

①時，在（0，+∞）上單調遞增，且，

符合

②時，，可得，在（0，+∞）

上單調遞增

，符合題意

③時，，可得，在上單調遞減

則，不符合題意

④時，

當時，，，不符合題意

綜上可得：

◆解題通法二

，

即

①時，，在（0，+∞）上單調遞減，

使，即

在上單調遞增，在上單調遞減

當時，，不符合題意

②時，

i）即時，

則，符合題意

ii）即時，

即

則在上單調遞減，在上單調遞增

單調遞增，即，故符合題意

，符合題意

綜上可得：

◆思維變式一

且對有恒成立即

令

①時，在上單調遞增，且

恒成立，，符合題意

②時，，故不符合題意

綜上可得：

◆思維變式二

，

設，

當時與同號

①時，符合題意

②時，

時，，故不符合題意

時，，恒成立

，綜上可得：

★思維提升

導數的工具作用很強大，可以放大函數在每個區(qū)間上的圖象特征，并且能用單調性和極值給出嚴謹的證明，再次彰顯“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”！

▲變式訓練

（2019全國I），是的導數，求證：

（1）在上有唯一極大值點;

（2）有且僅有2個零點.

【思維導圖分析】

【解題思維導圖】

★思維提升

思維導圖是將碎片思維進行有機整合而形成的，展示了數學解題思維的整體性和穩(wěn)定性特征，長期堅持這種訓練可以培養(yǎng)學生形成較為穩(wěn)定的思維模式和輸出模式，打破冒打誤撞式思維定式，形成嚴謹審慎的理性精神和科學態(tài)度，從而發(fā)展學生的高階數學思維.

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