摘要：在物理的學(xué)習(xí)與教學(xué)過(guò)程中，數(shù)學(xué)是其中的必備工具。本文主要就一些中學(xué)物理常用的數(shù)學(xué)知識(shí)作一些必要的闡述。

關(guān)鍵詞：物理過(guò)程；數(shù)學(xué)知識(shí)；極值；圖像

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1003-6148(2008)3(S)-0048-2

在高考考試說(shuō)明中特別強(qiáng)調(diào)利用數(shù)學(xué)工具來(lái)解決物理問(wèn)題?？疾閷W(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問(wèn)題的能力，是高考的難點(diǎn)與熱點(diǎn)。歷屆高考的物理試卷分析都得出考生在這一問(wèn)題上的失分率很高，因此要引起足夠的重視。下面就一些常見的應(yīng)用數(shù)學(xué)的例子加以分析。

應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問(wèn)題首先應(yīng)正確選用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，如比例、數(shù)列、幾何、三角函數(shù)、不等式、韋達(dá)定理、解析幾何和參數(shù)方程等數(shù)學(xué)知識(shí)。例如在求物理極值時(shí)，可從物理過(guò)程的分析著手，也可從數(shù)學(xué)角度思考，如靈活運(yùn)用二次三項(xiàng)式的性質(zhì)求極值，用二次函數(shù)判別式求極值，用三角函數(shù)求極值，用不等式法求極值，用圖像求極值等等。

例1 小球從h0高處自由下落，每與地面相碰一次速度就減小為碰前的k倍（k<1），求小球從下落到停止所用的總時(shí)間。（碰撞時(shí)所用的時(shí)間忽略不計(jì)）

析與解 本題考查正確運(yùn)用數(shù)學(xué)中的數(shù)列分析運(yùn)動(dòng)學(xué)相關(guān)問(wèn)題的能力。要求小球所用的總時(shí)間，只需依據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式將小球每碰一次在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間列出，求和即可。

球從h0高處下落到地面時(shí)的速度

v0=2gh0，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t0=2h0g。

第一次碰撞后小球的速度變?yōu)関1=kv0

第一次碰撞后至第二次碰撞前小球作豎直上拋運(yùn)動(dòng)，這一過(guò)程小球所用時(shí)間為

t1=2v1g=2k2h0g。

第二次碰撞后小球的速度變?yōu)楠?/p>

v2=kv1=k2v0。

第二次碰后至第三次碰撞前小球繼續(xù)作豎直上拋運(yùn)動(dòng)，這一過(guò)程小球所用時(shí)間為

t1=2v2g=2k22h0g。

同理可推得，第n次碰后小球的速度變?yōu)楠?/p>

vn=2kn2h0g。

由此可知，小球從下落到停止所用總時(shí)間

t=t0+t1+t2+…+tn=2h0g+2k2h0g+2k22h0g+…+2kn2h0g=2h0g+22h0g(k+k2+k3+…+kn)。

其中括號(hào)內(nèi)為一個(gè)等比數(shù)列，由數(shù)學(xué)等比數(shù)列求和公式可得Sn=k(1-kn)1-k。

當(dāng)n→∞時(shí)，Sn=k1-k，

因此t=2h0g+22h0g·k1-k=1+k1-k2h0g。

此題關(guān)鍵是找出小球第n次碰撞后在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間tn的表達(dá)式，看看tn的表達(dá)式有何規(guī)律(此題中符合等比數(shù)列規(guī)律)，然后利用數(shù)列的有關(guān)知識(shí)求得最后結(jié)果。

例2 如圖1，質(zhì)量為m的滑塊，從半徑為R的光滑1／4圓弧軌道頂端無(wú)初速度下滑，試求滑塊在下滑的過(guò)程中在何處重力有最大功率，其值為多大?

析與解 本題是考查運(yùn)用三角函數(shù)求物理極值的能力。設(shè)滑塊與軌道圓心O的連線與豎直方向成θ角時(shí)，小球具有最大豎直分速度，即具有重力最大功率。設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到該處時(shí)的速度為v，如圖1，由機(jī)械能守恒定律有

mgRcosθ=12mv2，

則有：v=2gRcosθ。

即vy=vsinθ=2gRcosθ·sinθ。

設(shè)x=cosθ·sin2θ，

則x2=cos2θ·sin4θ

=12·2cos2θ·sin2θ·sin2θ。

根據(jù)a+b+c3≥3abc，有

2cos2θ+sin2θ+sin2θ3≥32cos2θ·sin2θ·sin2θ，

32cos2θ·sin2θ·sin2θ≤2(cos2θ+sin2θ)3

=23，

2cos2θ·sin2θ·sin2θ≤(23)3=827。

當(dāng)a=b=c即2cos2θ=sin2θ時(shí)，其值最大，所以tanθ=2，

θ=arctan2。

x2max=cos2θ·sin4θ=427。

即xmax=427=239。

當(dāng)θ=arctan2時(shí)，

vy最大，vymax=2gRx=2343Rg，

P=mgvy=2343mgRg。

本道題目巧用平均值不等式a+b+c3≥3abc來(lái)解，使復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系簡(jiǎn)化為sin2θ+cos2θ=1的關(guān)系，解法簡(jiǎn)單實(shí)用。

例3 為了研究靜電除塵，有人設(shè)計(jì)了一個(gè)盒狀容器，如圖2所示。容器側(cè)面是絕緣透明的有機(jī)玻璃，它的上下底面是面積S=0．04m²的金屬板，間距L=0．05m。當(dāng)連接到U=2500V的高壓電源正負(fù)兩極時(shí)，能在兩金屬板間產(chǎn)生一個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)，現(xiàn)把一定質(zhì)量均勻的煙塵顆粒密閉在容器內(nèi)，每立方米有煙塵顆粒1013個(gè)。假設(shè)這些顆粒都處于靜止?fàn)顟B(tài)，每個(gè)顆粒的帶電量為 q=+1．0×10-17C，質(zhì)量為m=2．0×10-15kg，不考慮煙塵顆粒之間的作用力和空氣阻力，并忽略煙塵顆粒所受重力，求合上電鍵后，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間容器中煙塵顆粒的總動(dòng)能達(dá)到最大?

析與解 根據(jù)動(dòng)能定理：電場(chǎng)力做功等于動(dòng)能的增量。

設(shè)煙塵顆粒下落距離為x，則當(dāng)時(shí)所有煙塵顆粒的總動(dòng)能

Ek=nS(L—x)·mv2／2

=nS(L-x)·qUx／L。

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)x=L／2時(shí)Ek達(dá)最大，而x=at21／2，故t1=0．014s。

本題是利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求解，過(guò)程比較簡(jiǎn)單。

有些物理問(wèn)題可以依據(jù)給定的約束條件，通過(guò)作圖和簡(jiǎn)單的計(jì)算來(lái)求解，這種方法只要正確畫出圖示或圖像，結(jié)果便一目了然。

另外，物理圖像能形象表達(dá)物理規(guī)律，直規(guī)地描述物理過(guò)程，所以物理圖像是處理物理問(wèn)題的重要手段之一。用圖像法解題要注意圖像的“坐標(biāo)原點(diǎn)”、“斜率”、“面積”、“截距”的特定意義，能正確“識(shí)圖”、“畫圖”和“用圖”。

例4 如圖3所示，小球被兩根細(xì)線OA、OB懸掛在空中，細(xì)線OB水平，兩細(xì)線所受拉力大小分別為T1和T2。如果將OA線的懸點(diǎn)移到A′，OB線方向不變，則兩根繩上的拉力大小的變化情況如何?

析與解 如圖4所示，先畫出小球的受力圖，重力G、拉力T1、拉力T2。根據(jù)平行四邊形定則和三角函數(shù)關(guān)系：假設(shè)細(xì)線OA與水平方向的夾角為α，則T1=G／cosα，T2=Gtanα。當(dāng)懸點(diǎn)向左移動(dòng)時(shí)，α角增大，cosα減小，tanα增大，因此，T1和T2均增大。

例5 一只老鼠從洞口爬出沿一直線運(yùn)動(dòng)，其速度大小與其離開洞口的距離成反比。當(dāng)其到達(dá)距洞口為L(zhǎng)1的A點(diǎn)時(shí)速度為v1。若B點(diǎn)離洞口的距離為L(zhǎng)2(L2>L1)，求老鼠由A運(yùn)動(dòng)至B所需的時(shí)間。

析與解 本題考查正確運(yùn)用圖像解決物理問(wèn)題的能力。

本題中老鼠的速度隨位移的變化是非線性的，不能用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解，應(yīng)考慮其他方法例如圖像法來(lái)求解。我們熟知的v-t圖中斜率及圖線所圍的面積都具有明顯物理意義，所以想通過(guò)圖像法求t。除了v-x圖外，還可以畫出v-1x圖和1v-x圖，圖中的曲線與橫軸所圍面積的數(shù)值正是老鼠經(jīng)過(guò)一定位移的時(shí)間。若取一條窄條，其寬度Δx(Δx→0)很小，此段位移所需時(shí)間也很小(Δt→0)，可以認(rèn)為在如此短的時(shí)間內(nèi)，老鼠的速度改變很小(Δv→0)，；因而此窄條的面積為S=Δx·1v=Δxv，這正是老鼠經(jīng)位移Δx所需的時(shí)間。所以如圖陰影部分面積即為A點(diǎn)到B點(diǎn)所用的時(shí)間。

由已知條件及幾何知識(shí)可得

t=S陰=（1v1+1v2）·（L2-L1）2。

這就是圖中陰影部分面積，為A點(diǎn)到B點(diǎn)所用的時(shí)間。

本題巧妙地采用1v-x圖像，從而使它的“面積”能夠表示運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，同時(shí)使速度的倒數(shù)與距離成正比，使圖像為直線，使原本較復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)求解變得容易。

綜上可看出，一道物理題目的解決，離不開一些必要的數(shù)學(xué)工具，有的還需要一些數(shù)學(xué)的推理方法，如歸納法等。還有一些題目要用到數(shù)學(xué)上的幾何知識(shí)，如帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓心的確定，半徑的求定等等?？傊瑪?shù)理是不分家的。

(欄目編輯陳 潔)

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。