摘 要：本文采用最小二乘回歸蒙特卡洛模擬對(duì)固定利率住房抵押貸款進(jìn)行定價(jià)研究。模型結(jié)合當(dāng)前我國(guó)住房抵押貸款合同的具體條款和提前償還特征，分析了住房抵押貸款的違約期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)和違約概率，運(yùn)用無風(fēng)險(xiǎn)套利原理得到住房抵押貸款的市場(chǎng)公允利率。結(jié)果表明，該模型可以為商業(yè)銀行的房貸利率定價(jià)提供參考依據(jù)。

關(guān)鍵詞：住房抵押貸款；蒙特卡洛模擬；違約風(fēng)險(xiǎn)

中圖分類號(hào)：F830 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-5192(2008)03-0050-05

The Valuation of Mortgage Contract Rates Using LSM

CHEN Yong1，HE Xue-hui1，2

(1. College of Finance，Hunan University，Changsha 410079，China；2. Credit Center，Hunan University，Changsha 410079，China)

Abstract：This paper presents a numerical procedure to price fixed-rate mortgage loans using least square Monte Carlo simulation. Given the pattern of mortgage prepayment rates，we calculate the value of mortgage default option. The non-arbitrage theory is then applied to price mortgage contract rates. The results match with the empirical data well.

Key words：mortgage loans；Monte Carlo simulation；default risk

1 引言

最近，建行、農(nóng)行和光大銀行相繼推出了固定利率住房抵押貸款(Fixed-Rate Mortgage，F(xiàn)RM)。FRM的合同利率在整個(gè)貸款存續(xù)期內(nèi)固定不變，不隨市場(chǎng)利率的變動(dòng)而變動(dòng)。FRM可以幫助借款人鎖定借款成本，規(guī)避利率波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)，滿足市場(chǎng)對(duì)房貸產(chǎn)品的差別化和個(gè)性化的需求。我國(guó)當(dāng)前的FRM通常都有關(guān)于提前償還的限制條款，F(xiàn)RM的主要風(fēng)險(xiǎn)是抵押物價(jià)值波動(dòng)帶來的違約風(fēng)險(xiǎn)。因此，分析FRM包含的違約風(fēng)險(xiǎn)，可以為我國(guó)FRM及其證券化產(chǎn)品的定價(jià)提供參考依據(jù)。

國(guó)外的相關(guān)研究表明，住房抵押貸款的主要風(fēng)險(xiǎn)是提前償還風(fēng)險(xiǎn)和違約風(fēng)險(xiǎn)。一般說來，如果市場(chǎng)利率下降，借款人可能通過借新還舊，降低貸款的利息成本。由于貸款利率是事先確定的，一旦市場(chǎng)利率低于貸款利率，借款人的提前償還行為將使貸款人面臨再投資風(fēng)險(xiǎn)。因此，住房抵押貸款的提前償還風(fēng)險(xiǎn)具有看漲期權(quán)的性質(zhì)。同樣，如果房?jī)r(jià)下跌并且低于貸款余額，借款人將理性地選擇違約，并放棄作為抵押物的住房以避免更大損失，因此，住房抵押貸款的違約風(fēng)險(xiǎn)具有看跌期權(quán)性質(zhì)。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者主要集中于研究借款人提前償還和違約行為的決策模型，并運(yùn)用期權(quán)理論進(jìn)行定量分析。早期的定價(jià)模型只考慮住房抵押貸款的提前償還風(fēng)險(xiǎn)而不考慮違約風(fēng)險(xiǎn)。20世紀(jì)80年代以來，相關(guān)文獻(xiàn)開始運(yùn)用期權(quán)理論分析住房抵押貸款的違約風(fēng)險(xiǎn)。由于這些模型只考慮利率或房?jī)r(jià)對(duì)住房抵押貸款價(jià)值的影響，所以被稱為單因子模型。20世紀(jì)90年代以來，國(guó)外學(xué)者建立住房抵押貸款定價(jià)的雙因子模型，同時(shí)分析住房抵押貸款的提前償還風(fēng)險(xiǎn)和違約風(fēng)險(xiǎn)，并運(yùn)用數(shù)值分析方法對(duì)模型進(jìn)行定量分析。為了更好地?cái)M合提前償還與違約行為的經(jīng)驗(yàn)特征，后續(xù)研究從兩方面進(jìn)行擴(kuò)展：一是在期權(quán)定價(jià)模型中引入交易成本和時(shí)滯等市場(chǎng)摩擦因子；二是運(yùn)用歷史數(shù)據(jù)建立提前償還和違約行為的計(jì)量模型(econometric approach)，然后對(duì)住房抵押貸款的現(xiàn)金流進(jìn)行估計(jì)。這種方法也被稱為簡(jiǎn)化模型(reduced-form approach)。

Foster Van Order^[1]較早地運(yùn)用了期權(quán)理論對(duì)住房抵押貸款的違約風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行定價(jià)分析。此后，Cunningham Capone^[2]和Dennis et al.^[3]對(duì)違約期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行了擴(kuò)展。國(guó)外經(jīng)驗(yàn)表明，房?jī)r(jià)和貸款成數(shù)(Loan to Value，LTV)是影響違約風(fēng)險(xiǎn)的主要因素。Capozza et al.^[4]的實(shí)證研究表明，降低貸款成數(shù)可以有效地減少違約風(fēng)險(xiǎn)；反之，如果貸款成數(shù)較高，即使貸款人加強(qiáng)對(duì)借款人的資信審查，在控制違約風(fēng)險(xiǎn)方面的作用也十分有限。實(shí)踐表明，房?jī)r(jià)下跌時(shí)，住房抵押貸款的違約風(fēng)險(xiǎn)顯著上升。1991年，日本房地產(chǎn)泡沫破滅，日本房?jī)r(jià)15年持續(xù)下跌，直接導(dǎo)致了大量的銀行不良資產(chǎn)。

在數(shù)值方法方面，國(guó)內(nèi)外學(xué)者主要運(yùn)用有限差分法和二叉樹法對(duì)實(shí)物期權(quán)進(jìn)行數(shù)值求解。針對(duì)住房抵押貸款的提前償還和違約風(fēng)險(xiǎn)的美式期權(quán)性質(zhì)，國(guó)外的文獻(xiàn)主要采用有限差分法進(jìn)行數(shù)值分析，如Kau et al.^[5]和Azevedo et al.^[6]。在國(guó)內(nèi)定價(jià)研究中，較為廣泛地應(yīng)用了數(shù)值分析方法對(duì)實(shí)物期權(quán)進(jìn)行定價(jià)研究，但主要集中于可轉(zhuǎn)換債券、公司債券和傳統(tǒng)信貸產(chǎn)品的定價(jià)分析，沒有考慮住房抵押貸款的分期付款和提前償還特性，例如，龔樸、趙海濱和司繼文^[7]，范辛亭、方兆本^[8]分別應(yīng)用有限差分法和二叉樹法對(duì)可轉(zhuǎn)換債券進(jìn)行定價(jià)。

我們將采用最小二乘回歸蒙特卡洛模擬方法(Least Square Monte Carlo Simulation，LSM)分析住房抵押貸款違約期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值，并運(yùn)用無風(fēng)險(xiǎn)套利原理，對(duì)FRM的利率進(jìn)行定價(jià)分析。為了減輕計(jì)算的強(qiáng)度，提高計(jì)算的精度，我們使用了對(duì)偶變量法(Antithetic Variates)。

表1 部分銀行關(guān)于FRM提前償還的限制條款銀行名稱提前償還違約金標(biāo)準(zhǔn)建設(shè)銀行違約金約為貸款余額的2.6%。招商銀行違約金根據(jù)貸款余額、剩余期限和利率變動(dòng)情況確定，貸款余額越小、剩余期限越短、市場(chǎng)利率變動(dòng)越小，違約金就越少。農(nóng)業(yè)銀行3年之內(nèi)收取違約金，違約金根據(jù)提前償還金額和剩余期限確定。光大銀行1年之內(nèi)收取違約金，為貸款余額的3%。

陳勇，等：固定利率住房抵押貸款定價(jià)研究Vo1.27，No.3預(yù) 測(cè)2008年第3期 雖然借款人可以在市場(chǎng)利率下降時(shí)通過借新還舊，降低借款成本，但我國(guó)住房抵押貸款的合同條款往往使提前償還期權(quán)的執(zhí)行無利可圖，特別是最近推出的FRM都有關(guān)于提前償還的限制條款(見表1)；其次，我國(guó)的存貸利差大，住房抵押貸款的提前償還行為主要取決于借款人的收入水平，與利率的相關(guān)系數(shù)不是很大^[9]?？紤]以上兩方面的原因，我們將使用房?jī)r(jià)單因子模型，主要分析違約期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值。

2 分析框架

2.1 住房抵押貸款現(xiàn)金流描述

違約期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格是住房抵押貸款的未償余額，因此，分析借款人的提前償還行為及其對(duì)住房抵押貸款現(xiàn)金流的影響是進(jìn)行違約期權(quán)定價(jià)的基礎(chǔ)。

當(dāng)前，我國(guó)商業(yè)銀行推出的FRM主要分為三個(gè)檔次：3年期、5年期和10年期。FRM的償還方式可分為等額本金法和等額本息法。我國(guó)住房抵押貸款的償還方式主要是等額本息法，每月的還款額固定不變，貸款到期時(shí)，借款人正好還清貸款本息。每月還款額又稱為月供，包括利息和部分本金，利息分月償還，按年利率的十二分之一計(jì)算，因此，實(shí)際利率高于名義利率。在貸款存續(xù)期內(nèi)，隨著貸款本金余額逐月減少，月供中包含的利息額也逐月減少，而包含的本金逐月增加。

為了分析的方便，我們引入以下變量：

i為以月為單位的連續(xù)復(fù)合合同利率，由于住房抵押貸款的利息是逐月按年利率的十二分之一計(jì)算的。假設(shè)貸款年利率為r，以月為單位的連續(xù)復(fù)合利率為i=log1+r12。T為以月為單位表示的住房抵押貸款的期限。t為以月為單位表示的住房抵押貸款的存續(xù)期，1≤t≤T。MBt為t月初的未償本金余額。在貸款發(fā)放時(shí)，未償本金余額MB1就等于貸款總額。我們假設(shè)每月的還款日為月末。在t月末，住房抵押貸款余額為MBt(1+i)。MP為月供，即事先確定的、沒有提前償還和違約行為的月還款額。

根據(jù)貸款期限、貸款總額和貸款利率，運(yùn)用年金計(jì)算公式可以得到借款人應(yīng)繳納的月供為

然而，由于借款人的提前償還行為，住房抵押貸款產(chǎn)生的現(xiàn)金流具有不確定性。提前償還模型主要有PSA模型(Public Securities Association)和固定提前償還率模型(Constant Prepayment Rate，CPR)。PSA模型是根據(jù)美國(guó)歷史數(shù)據(jù)建立的、描述住房抵押貸款的提前償還率的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?00%PSA指第一個(gè)月的年提前償還率為0.2%，第二個(gè)月的年提前償還率為0.4%，依此類推，一直到第三十個(gè)月達(dá)到6%，三十個(gè)月以后，提前償還率一直保持6%的水平。CPR模型假設(shè)住房抵押貸款的提前償還率在整個(gè)貸款存續(xù)期內(nèi)始終不變，例如，12%CPR表示住房抵押貸款的年提前償還率始終為12%。我國(guó)商業(yè)銀行和投資者主要使用CPR模型。例如，國(guó)內(nèi)的首單住房抵押貸款支持證券“建元2005-1”的《發(fā)行說明書》披露了建行七個(gè)試點(diǎn)分行的個(gè)人住房抵押貸款的年提前償還率在11.36%至26.20%之間，并以12.98%CPR計(jì)算住房抵押貸款的加權(quán)平均期限。

根據(jù)住房抵押貸款的年提前償還率，我們可以計(jì)算住房抵押貸款的單月提前償還率(Single Month Mortality，SMM)，從而可以估計(jì)和預(yù)測(cè)住房抵押貸款的現(xiàn)金流。單月提前償還率是指借款人當(dāng)月提前償還的本金占月初未償本金的比例。已知住房抵押貸款的年提前償還率CPR，我們可以得到單月提前償還率為SMM=1-(1-CPR)1/12。為了提高模型的適用性，我們將分別考慮提前償還率為8%CPR、10%CPR、12%CPR和15%CPR的情況。

2.2 最小二乘回歸蒙特卡洛模擬

借款人的違約行為取決于房?jī)r(jià)、貸款余額以及貸款剩余期限。為了對(duì)違約期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，我們引入以下變量：

LSM方法最早由Longstaff Schwartz^[10]提出，該方法已成為目前使用蒙特卡洛模擬美式期權(quán)定價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)方法，解決了蒙特卡洛模擬不能處理美式期權(quán)的難題。LSM方法的基本原理是：根據(jù)基礎(chǔ)資產(chǎn)的價(jià)格路徑在每個(gè)時(shí)刻的截面數(shù)據(jù)，利用最小二乘回歸法求得繼續(xù)持有期權(quán)的收益期望值，并與立即執(zhí)行期權(quán)的收益相比較，如果后者大于前者，則立即執(zhí)行期權(quán)，否則，繼續(xù)持有期權(quán)。

違約期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格是住房抵押貸款的余額，當(dāng)房?jī)r(jià)低于住房抵押貸款的余額時(shí)，違約期權(quán)處于實(shí)值狀態(tài)(in-the-money)。根據(jù)Black Scholes^[11]提出的風(fēng)險(xiǎn)中性期權(quán)定價(jià)模型有

其中E′是風(fēng)險(xiǎn)中性概率下的條件期望算子。借款人可以選擇在貸款存續(xù)期內(nèi)的任何時(shí)點(diǎn)違約，以使違約期權(quán)的價(jià)值最大化，因此，t≤τ≤T。設(shè)借款人繼續(xù)持有期權(quán)(不立即執(zhí)行期權(quán))的價(jià)值為

由于立即執(zhí)行期權(quán)的價(jià)值為u(Ht，At)，借款人的目標(biāo)函數(shù)就是實(shí)現(xiàn)期權(quán)價(jià)值的最大化，即

LSM方法的核心在于應(yīng)用線性回歸估計(jì)繼續(xù)持有期權(quán)的預(yù)期收益。在期權(quán)的存續(xù)期內(nèi)，借款人不斷比較立即執(zhí)行期權(quán)的收益與繼續(xù)持有期權(quán)的預(yù)期收益。運(yùn)用當(dāng)期基礎(chǔ)資產(chǎn)的價(jià)格對(duì)繼續(xù)持有期權(quán)的收益進(jìn)行線性回歸，可以得到繼續(xù)持有期權(quán)的預(yù)期收益，即

E′[e-ru(Ht+1，At+1)|Ht]=∑kj=0αjHtj

其中k為回歸多項(xiàng)式的最高級(jí)數(shù)，αj為被估計(jì)參數(shù)，回歸樣本的大小等于基礎(chǔ)資產(chǎn)路徑中處于實(shí)值狀態(tài)的路徑的數(shù)量。根據(jù)以上回歸模型，可以得到繼續(xù)持有期權(quán)的預(yù)期收益。如果E′[e-ru(Ht+1，At+1)|Ht]>u(Ht，At)，借款人的最佳策略是繼續(xù)持有期權(quán)；相反，如果E′[e-ru(Ht+1，At+1)|Ht]≤u(Ht，At)，借款人的最佳策略就是立即執(zhí)行期權(quán)。我們采用了以下回歸模型估計(jì)繼續(xù)持有期權(quán)的預(yù)期收益

E′[e-ru(Ht+1，At+1)|Ht]=α0+α1Ht+α2H2t

3 住房抵押貸款合同利率定價(jià)

3.1 數(shù)值模擬結(jié)果

為了減少計(jì)算強(qiáng)度，提高計(jì)算效率，我們采用對(duì)偶變量減方差技巧，產(chǎn)生了20000條房?jī)r(jià)路徑。由于借款人可以從房屋的居住中獲得效用，相當(dāng)于獲得房屋租金，借款人只有在每月的還款日才會(huì)考慮是否選擇違約，因此，在蒙特卡洛模擬時(shí)我們使用的時(shí)間間隔為一個(gè)月。我們選取中經(jīng)網(wǎng)公布的1998年至2005年的住房?jī)r(jià)格銷售價(jià)格指數(shù)，對(duì)(1)式的參數(shù)μ進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)估計(jì)，得到房?jī)r(jià)的年增長(zhǎng)率約為5%。由于現(xiàn)在我國(guó)還沒有住房租金率的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，我們假設(shè)住房租金率約為4%。也就是說，我們假設(shè)價(jià)格為20萬元的住房的年租金為8000元左右。我們分別考慮了房?jī)r(jià)波動(dòng)方差σ2H為5%、10%和15%的情況。

商業(yè)銀行在對(duì)FRM定價(jià)時(shí)，主要考慮資金成本、經(jīng)營(yíng)費(fèi)用以及貸款的違約風(fēng)險(xiǎn)，其中資金成本與經(jīng)營(yíng)費(fèi)用構(gòu)成銀行的綜合資金成本。為了計(jì)算銀行貸款的資金成本，我們首先計(jì)算不同提前償還假設(shè)下FRM的加權(quán)平均期限，然后根據(jù)FRM的加權(quán)平均期限和銀行存款利率期限結(jié)構(gòu)，運(yùn)用平滑樣條技術(shù)(Smoothing Spline)確定銀行資金成本。表2是2006年8月央行加息以后的銀行定期存款利率。

由于住房抵押貸款具有分期償還與提前償還的特性，住房抵押貸款的加權(quán)平均期限遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于貸款年限。銀行的經(jīng)營(yíng)費(fèi)用約為1.8~2.4之間^[12]，我們?nèi)?.0%作為銀行的經(jīng)營(yíng)費(fèi)用。表3是不同提前償還率下貸款的加權(quán)平均期限以及銀行的綜合資金成本。如果銀行發(fā)放的貸款沒有違約風(fēng)險(xiǎn)，則FRM的合同利率應(yīng)該等于銀行的綜合資金成本。在數(shù)值模擬過程中，我們將采用銀行綜合資金成本作為風(fēng)險(xiǎn)中性利率，計(jì)算住房抵押貸款的違約期權(quán)價(jià)值。

表4是貸款總額為100000、期限為10年的FRM隱含的違約期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值，也就是預(yù)期違約損失。從表4可以看出，違約期權(quán)的價(jià)值為20至7000之間，占貸款總額的7%以下；隨著貸款成數(shù)和房?jī)r(jià)波動(dòng)方差的增加，違約期權(quán)的價(jià)值迅速上升；提前償還速度加快時(shí)，違約期權(quán)的價(jià)值顯著下降。由于違約期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格等于貸款余額，因此，貸款成數(shù)上升時(shí)，違約期權(quán)的價(jià)值增加。房?jī)r(jià)波動(dòng)方差較高時(shí)，房?jī)r(jià)下跌并且低于貸款余額的概率增加，從而導(dǎo)致違約期權(quán)的價(jià)值增加。當(dāng)提前償還率上升時(shí)，貸款余額下降的速度加快，導(dǎo)致違約期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值下降。

圖1表示住房抵押貸款的累計(jì)違約率。從圖中可以看出，住房抵押貸款的違約風(fēng)險(xiǎn)主要出現(xiàn)在貸款后的3~8年之間，這與加拿大和美國(guó)的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)相符。在貸款初期，由于借款人支付了一定的首付款，房?jī)r(jià)大大低于貸款余額，違約概率幾乎為零。而在貸款后的3~8年之間，雖然貸款余額隨著貸款剩余期限的下降而下降，但房?jī)r(jià)波動(dòng)將導(dǎo)致違約率上升。貸款后期，由于貸款余額持續(xù)下降，違約期權(quán)的價(jià)值漸漸消失，違約率接近于零。

3.2 住房抵押貸款合同利率定價(jià)

期權(quán)調(diào)整利差分析(Option-Adjusted Spread，OAS)是投資者常用的對(duì)隱含期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)的金融產(chǎn)品定價(jià)的工具。OAS是隱含期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)的固定收益產(chǎn)品的收益率與無風(fēng)險(xiǎn)利率之間的差異，即OAS=rm-rf，其中，rm是包含期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)的收益率，rf是無風(fēng)險(xiǎn)利率。同理，根據(jù)違約期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值和無風(fēng)險(xiǎn)利率，我們可以推導(dǎo)出包含違約期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)的房貸利率。

根據(jù)上述LSM方法可以得到違約期權(quán)的市場(chǎng)公允價(jià)值，依據(jù)無風(fēng)險(xiǎn)套利原理，商業(yè)銀行以無風(fēng)險(xiǎn)利率發(fā)放FRM時(shí)，需要花費(fèi)價(jià)值等于違約期權(quán)的成本對(duì)FRM的違約風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行套期保值。由于FRM隱含了違約期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)，F(xiàn)RM的貸款利率應(yīng)該高于無風(fēng)險(xiǎn)利率，并使得貸款利率高于無風(fēng)險(xiǎn)利率的部分正好可以彌補(bǔ)違約期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)。設(shè)違約期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值為F，商業(yè)銀行首先以無風(fēng)險(xiǎn)利率借入資金MB1，然后，以房貸利率rm發(fā)放住房抵押貸款MB1-F，同時(shí)以價(jià)格F向保險(xiǎn)公司購(gòu)買違約責(zé)任險(xiǎn)，對(duì)住房抵押貸款的違約期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行套期保值。設(shè)商業(yè)銀行借入資金的期限和住房抵押貸款的加權(quán)平均期限同為T，無風(fēng)險(xiǎn)套利將使得以下公式成立

根據(jù)違約期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值和合同條款，我們可以利用(2)式得到包含違約期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)的FRM的貸款利率(見表5)。表5是不同提前償還假設(shè)下的FRM的利率。這與我國(guó)當(dāng)前商業(yè)銀行實(shí)行的FRM利率非常接近。例如，在2006年8月央行放寬住房抵押貸款的利率下限后，北京建行、光大銀行和農(nóng)行推出的10年期FRM的利率分別為6.39%~7.02%、6.12%~6.65%和6.25%~7.75%。

4 小結(jié)

FRM的利率主要取決于銀行存款利率、經(jīng)營(yíng)費(fèi)用和違約期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值，而FRM的違約期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值主要受提前償還率、貸款成數(shù)和房?jī)r(jià)波動(dòng)周期的影響。運(yùn)用LSM方法可以較為準(zhǔn)確地對(duì)FRM的違約期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)和違約概率進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)，從而可以為商業(yè)銀行依據(jù)借款人的特征、貸款合同條款和經(jīng)濟(jì)條件等因素制定差異化的貸款利率提供參考依據(jù)。

參 考 文 獻(xiàn)：

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