[摘要]在《數(shù)學(xué)分析》課程的極限續(xù)論部分，提出了關(guān)于實數(shù)的七個基本定理。這些定理雖然出發(fā)的角度不同，但描寫的都是實數(shù)連續(xù)性這同一件事，它們之間是相互等價的，即任取其中兩個定理，它們可以相互證明。對同一個定理的證明，雖然不同的定理作為工具會使證明有簡繁之分，但最后卻都能殊途同歸。本文就以致密性定理為例，論述如何從不同角度對其進(jìn)行證明，并總結(jié)在證明過程中的幾點發(fā)現(xiàn)。

[關(guān)鍵詞]實數(shù)基本定理 確界定理 單調(diào)有界定理 區(qū)間套定理 有限覆蓋定理 致密性定理 柯西收斂定理

一、分析的嚴(yán)格化——定理的出現(xiàn)

十七世紀(jì)，微積分這一銳利無比的數(shù)學(xué)工具為牛頓、萊布尼茨各自獨立發(fā)現(xiàn)，推動了科學(xué)技術(shù)的發(fā)展。一方面，微積分在應(yīng)用中大獲成功；一方面其自身卻存在著邏輯矛盾。至十九世紀(jì)，由十七、十八世紀(jì)積累下來的矛盾到了非解決不可的程度。于是，在眾多數(shù)學(xué)名家的努力下，提出了七個實數(shù)基本定理！

定理表述如下：（1）實數(shù)基本定理：對R的每一個分劃A|B，都唯一的實數(shù)r，使它大于或等于下類A中的每一個實數(shù)，小于或等于上類B中的每一個實數(shù)。（2）確界定理:在實數(shù)系R內(nèi)，非空的有上(下)界的數(shù)集必有上(下)確界存在。（3）單調(diào)有界原理:若數(shù)列{xn}單調(diào)上升有上界，則{xn}必有極限。（4）區(qū)間套定理:設(shè)｛［an，bn］｝是一個區(qū)間套，則必存在唯一的實數(shù)r，使得r包含在所有的區(qū)間里，即r∈I∞n=1［an，bn］。（5）有限覆蓋定理:實數(shù)閉區(qū)間[a，b]的任一覆蓋E，必存在有限的子覆蓋。（6）致密性（魏爾斯特拉斯）定理：有界數(shù)列必有收斂子數(shù)列。（7）柯西收斂定理：在實數(shù)系中，數(shù)列{xn}有極限存在的充分必要條件是：＞0，N，當(dāng)n＞N，m＞N時，有｜xn-xm｜＜。

二、致密性定理的不同證明方法

1．用確界定理證明致密性定理

證明：設(shè)數(shù)列{xn}是有界數(shù)列。定義數(shù)集A={x|{xn}中大于x的點有無窮多個}

三、證明中的幾點發(fā)現(xiàn)

1.即使用同一個基本定理證明同一個定理，也可能有不同的方法。以下分別用兩種方法完成用單調(diào)有界定理證明致密性定理。

證法一：由上一部分的論述，我們知道，用單調(diào)有界定理證明致密性定理，可以用二分法，本質(zhì)上用區(qū)間套去證明致密性定理。

證法二：首先證明有界數(shù)列{an}有單調(diào)子數(shù)列。

稱其中的項an有性質(zhì)M，若對每個i＞n，都有an≥a1，也就是說，an是集合{ai|i＞n}的最大數(shù)。

2.從用有限覆蓋定理證明致密性定理和用確界定理證明致密性定理中，我們都證明了一個結(jié)論：若x0∈[a，b]， δ＞0，(x0-δ，x0+δ)中必含有xn的無限多項，則存在{xnk}為{xn}的子數(shù)列且收斂于x0。而我們發(fā)現(xiàn)，其實這是一個充分必要條件。

3．由單調(diào)有界定理證明致密性定理的第二種證法，我們可以得出結(jié)論：任何數(shù)列都有單調(diào)子數(shù)列。有界數(shù)列已證。而無界數(shù)列也有單調(diào)子數(shù)列。

4. 從數(shù)列的極限理論，我們知道收斂數(shù)列一定有界，但有界數(shù)列不一定收斂。在一系列需要構(gòu)造收斂數(shù)列的分析問題中，往往一開始構(gòu)造一個有界數(shù)列，然后由致密性定理得出子列，也即致密性定理，讓我們從“混亂”的數(shù)列中找出了“秩序”。

證明是數(shù)學(xué)的靈魂！數(shù)學(xué)是研究結(jié)構(gòu)的。通常情況下，如果它受什么條件制約的話，則必有什么性質(zhì)。假如具備什么條件的話，則必然有什么結(jié)果。在實數(shù)基本定理的證明之中，我們深深體會到這一點。正如在任何語言中，同一思想可以用多種表達(dá)方法一樣，同一個數(shù)學(xué)事實可以有不同的表達(dá)方式和不同的證明方法。而在證明過程中，我們不只檢驗了定理，而且對定理有了更深的理解。不同的證明還啟迪了我們的思維，交流了數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)了我們的發(fā)現(xiàn)。

參考文獻(xiàn)：

［1］陳傳璋，金福臨，朱學(xué)炎.歐陽光中.數(shù)學(xué)分析.高等教育出版社.

［2］劉玉璉，楊奎元，劉偉，呂鳳.數(shù)學(xué)分析講義.高等教育出版社.

(作者單位：福建農(nóng)業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院)