數(shù)學(xué)中一種很重要的思想和很有效的方法就是“轉(zhuǎn)化你的問題”。數(shù)學(xué)大師波利亞曾一再指出：“當(dāng)原問題看來不可解時，人類的高明之處就在于迂回繞過不能直接克服的障礙，就在于能想出某個適當(dāng)?shù)妮o助問題”，這就是說，當(dāng)我們碰到困難的問題時，要善于巧妙轉(zhuǎn)化，化難為易，化未知為已知，達(dá)到靈活求解的目的；當(dāng)我們碰到困難的問題時，要不斷地變換問題，重新敘述問題，直到最后成功地找到某些有用的東西為止。

一、集合問題向排列組合問題轉(zhuǎn)化

二、不等式問題向二次函數(shù)的實(shí)根分布問題轉(zhuǎn)化

例：已知，若A∪B=A求a的取值范圍

分析：當(dāng)學(xué)生拿到這個問題的時候都馬上會用常規(guī)的解不等式x2-2ax+a+20的思路去解決它，但他們馬上就碰到了問題，第二個不等式 是沒有辦法因式分解的，于是有的同學(xué)就用求根公式去做，十分麻煩，而且還會碰到他們很不熟悉的根式不等式，所以很少有同學(xué)能很完整地做出答案.還有不少同學(xué)甚至認(rèn)為題目是有問題的，于是就放棄了.其實(shí)這倒題目如果能轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的實(shí)根的分布問題那就容易多了。

三、二次函數(shù)問題向最值問題或恒成立問題轉(zhuǎn)化

例：設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-2x+2

（1）若對于滿足1＜x＜4的一切x值，都有f(x)＞0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

（2）若不等式f(x)＞0在1＜x＜4內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：這個題目其實(shí)是非常優(yōu)秀的，學(xué)生在處理的時候往往會比較發(fā)愁，有點(diǎn)摸不著頭腦，明明知道是要分類討論，就是討論不全，丟三落四。其實(shí)這道題目如果我們在動筆之前能先來考慮一下怎么轉(zhuǎn)化的話，那將有事半功倍的效果。

轉(zhuǎn)化方式一： 問題一轉(zhuǎn)化f(x)=ax2-2x+2在1＜x＜4上的最小值大于0.問題二轉(zhuǎn)化為f(x)=ax2-2x+2在1＜x＜4上的最大值大于0. 

轉(zhuǎn)化方式二： 問題一轉(zhuǎn)化為a＞2x-2[]x2在1＜x＜4恒成立，求a的范圍.

問題二轉(zhuǎn)化為a＞2x-2[]x2在1＜x＜4有解，求a的范圍.

問題二還可以轉(zhuǎn)化為a2x-2[]x2在1＜x＜4恒成立，求a的范圍.

轉(zhuǎn)化方式一仍有一定的計(jì)算量，仍需按對稱軸的位置進(jìn)行分類討論，需要很細(xì)心才能做對做好.與之比較起來，轉(zhuǎn)化方式二更為優(yōu)秀，而且計(jì)算量很小。

四、函數(shù)問題向?qū)嵏植紗栴}轉(zhuǎn)化

我們先判斷出當(dāng)a＞1時，f-1(x)在(1，+∞)上是增函數(shù)，這時做不到f-1(x)在［m，n］上的值域是［g(n)，g(m)］，所以我們只要考慮0＜a＜1的情況求可以了.當(dāng)0＜a＜1時，f-1(x)在(1，+∞)上是減函數(shù)，我們有，由，可得x-1[]x+1=ax，于是上題就轉(zhuǎn)化為求方程ax2+(a-1)x+1=0有兩個均大于1的根時求a的取值范圍問題.即.經(jīng)過巧妙的轉(zhuǎn)化，一道難題就迎刃而解了.

五、導(dǎo)數(shù)問題向恒成立問題轉(zhuǎn)化

例：已知f(x)=x2+c，且f(f(x))=f(x2+1) （1）設(shè)g(x)=f(f(x))，求g(x)的解析式.

（2）設(shè)φ(x)=g(x)-λf(x)，試問：是否存在實(shí)數(shù)λ，使φ(x)在(-∞，-1)內(nèi)為減函數(shù)，且在(-1，0)內(nèi)是增函數(shù).

分析：導(dǎo)數(shù)中經(jīng)常碰到的一類問題是告訴我們單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)的范圍問題，遇到這一類問題我們應(yīng)該把它轉(zhuǎn)化為恒成立問題，我們就以這個題目為例。

經(jīng)過求解，我們可以得到g(x)=x4+2x2+2，即φ(x)=x4(2-λ)x2+2-λ.我們可以求得φ′(x)=4x3+2(2-λ)x.①φ(x)在(-∞，-1)內(nèi)為減函數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為φ′(x)0在(-∞，-1)上恒成立，還可以轉(zhuǎn)化成2(2-λ)-4x2在(-∞，-1)上恒成立，再轉(zhuǎn)化成求-4x2在(-∞，-1)上的最大值就做出來了，得到λ4。②φ(x)在(-1，0)內(nèi)是增函數(shù)，也可以通過類似的轉(zhuǎn)化得到。此時λ4.所以最后答案是λ=4。

通過上面的幾個例子我們深刻體會到數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化的重要性.我們在平時的解題教學(xué)中，要培養(yǎng)“轉(zhuǎn)化”意識，對于一些較復(fù)雜的問題，不要在“抽象”的迷宮里兜圈子，若改變方向，從新的角度、新的觀點(diǎn)出發(fā)重新提出新的問題，亦即對原來的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使問題輕而易舉地獲解。

（作者單位：浙江紹興魯迅中學(xué)）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。