[摘要]數(shù)學本身具有嚴密的邏輯體系，數(shù)學內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系決定了學習數(shù)學具有特殊的科學方法。類比方法作為重要的數(shù)學方法，在數(shù)學學習中起著舉足輕重的作用。本文通過不同角度闡述了類比思想在數(shù)學學習中的體現(xiàn)，為學好數(shù)學提供了一類行之有效的方法。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學教學 思想方法 應(yīng)用推廣

數(shù)學家波利亞曾說“類比是一個偉大的引路人”。數(shù)學是一門邏輯非常嚴密的學科，數(shù)學對象之間有著緊密的聯(lián)系，讓學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學對象間的聯(lián)系并掌握發(fā)現(xiàn)的方法，是數(shù)學教學的重要一環(huán)。在普及素質(zhì)教育和創(chuàng)新教育的背景下，減輕學生的學習負擔就需要提高學習效率，而這就需要學生掌握一些常見的數(shù)學思想方法，從而找到一套高效的數(shù)學學習方法。教師可以利用類比推理的思想方法，引導(dǎo)學生進行猜測——提出新問題；探索——提出新思路；證明——發(fā)現(xiàn)新結(jié)論。以下結(jié)合實例作簡要的說明。

一、歸納思路

學生在清楚一元二次方程的兩根同號問題需用根與系數(shù)的關(guān)系后，對如下問題可能仍感困惑，可以讓學生結(jié)合圖像進行分析。

二、類比：推廣結(jié)論

比如，奇偶函數(shù)圖象對稱性的類比推廣大家非常熟悉，奇偶函數(shù)的圖象具有對稱性，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，奇偶函數(shù)的這種性質(zhì)可以作類比推廣。注意偶函數(shù)的解析式滿足以下條件，即對于定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，圖象關(guān)于直線x=0(y軸)對稱，條件f(-x)=f(x)可以改造成為f(0-x)=f(0+x)，這說明在x=0的兩側(cè)與它距離相等的兩點對應(yīng)的自變量對應(yīng)的函數(shù)值相等，此時對稱軸為直線x=0；現(xiàn)將條件中的0改為字母 ，則條件變?yōu)楠玣(a-x)=f(a+x)，易證此時函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱。這里的x=a可以看成 x=a+a[]2；再將條件進一步改變?yōu)閒(a-x)=f(b+x)，則有函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a+b[]2對稱；偶函數(shù)中的這種類比推廣在奇函數(shù)中也可以實現(xiàn)。對于奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(a+b[]2，0)對稱，可見，若函數(shù)f(x)滿足一些特殊關(guān)系式時，函數(shù)f(x)的圖象就會有類似奇偶函數(shù)一樣的對稱性，能為我們解決實際問題帶來方便。 

又如，正弦函數(shù)具有周期性，表現(xiàn)在圖象上就是圖象的重復(fù)性，觀察正弦函數(shù)的圖象不難發(fā)現(xiàn)，正弦函數(shù)圖象還具有多條對稱軸和多個對稱中心，并且相鄰兩條對稱軸間的距離是周期的一半；相鄰兩個對稱中心間的距離是周期的一半(如圖5)所示。

正弦函數(shù)的這一性質(zhì)可以類比推廣到一般的函數(shù)中去，即：一般地，如果一個函數(shù)的圖象具有兩條或兩條以上對稱軸，或具有兩個或兩個以上對稱中心，或者既有對稱軸又有對稱中心，則這個函數(shù)是周期函數(shù)；并且這個函數(shù)的周期為相鄰兩條對稱軸間距離的兩倍，也是相鄰兩個對稱中心間距離的兩倍，也可以是相鄰的對稱中心與對稱軸間距離的4倍。利用這一性質(zhì)，能夠使一些問題的解答簡化。

例3.定義在（-∞，+∞）上的偶函數(shù)f(x)滿足：f(x+1)=－f(x)，且在［－1，0］上是增函數(shù)，下面關(guān)于f(x)的判斷：（1）f(x)是周期函數(shù)；（2）f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱；（3）f(x)在［0，1］上是增函數(shù)；（4）f(x)在［1，2］上是減函數(shù)；（5）f(2)=f(0) . 其中正確的判斷是：。

解:由f(x)是定義在R上的偶函數(shù)知，函數(shù)f(x)的圖象具有一條對稱軸x=0；又由f(x+1)=－f(x)=－f(－x) =－f(0－x)可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點A(1[]2，0)對稱，由此可知該函數(shù)具有周期性，故選項(1)正確；另外，也可由已知條件f(x+1)=－f(x)得， f(x+2)= f［(x+1)+1］=－f(x+1)=－［－f(x)］=f(x)，這里不僅得出函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，而且還知道周期為2；再由條件：函數(shù)f(x)在［-1，0］上是增函數(shù)知它在［0，1］上是減函數(shù)，可見點A(1[]2，0)和直線x=0為函數(shù)圖象相鄰的對稱中心和對稱軸，也可得出周期為2；故x=1必為函數(shù)圖象的對稱軸，所以，選項(2)成立；由周期性和對稱性不難判斷選項(3)和(4)錯誤；由周期為2立得選項(5)成立。

三、類比：尋找區(qū)別

例5.（1）已知函數(shù)的值域為［-1，4］，求a的值。

（2）已知函數(shù)對定義域內(nèi)的任意x值，都有-1y4，求a的值。

分析：兩題的含義不同：值域內(nèi)的每個值都要有x與之對應(yīng)；而題（2）中的不一定取遍［-1，4］，所以解法有區(qū)別。

題（1）利用判別式法及根與系數(shù)關(guān)系得；a=±4。

題（2）由恒成立，即恒成立 

∴△a2-160，∴-4a4.

總之，類比思想方法的應(yīng)用，無論是對發(fā)現(xiàn)問題，還是提供解決問題的思路，都起著很好的啟發(fā)與促進作用。

參考文獻：

［1］朱華偉，張景中．論推廣．數(shù)學通報，2005，4．

［2］張志軍．數(shù)學中形似質(zhì)異的問題對．數(shù)學教學，2007，3.

（作者單位：云南昆明第一中學）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。