在我們的生活中地圖的重要性自然不用多說?？墒?，在繪制地圖時，相鄰的不同區(qū)域最好涂上不同的顏色以示區(qū)別。這樣的地圖看起來花花綠綠，只是不知你有沒有注意過，不論一張地圖上的行政區(qū)劃有多么復雜，只要使用四種顏色著色，就可以保證將它們清清楚楚地區(qū)分開來(即任何相鄰的兩個地區(qū)顏色不會重復)。

這個問題到了數(shù)學家手里，就變成著名的四色猜想(也稱四色問題)。數(shù)學家從節(jié)約的角度考慮，任何地圖，使得相鄰的地區(qū)涂上不同的顏色，至少得用多少種顏色呢?四色問題或者四色猜想的結論是：四色足夠!

百年拼搏史

說起來，這個問題可能有許多人發(fā)現(xiàn)過，但是第一個明確記錄在案的是剛從倫敦大學畢業(yè)不久的英國青年弗蘭西斯·葛斯瑞。1852年，他給一張英國地圖著色時發(fā)現(xiàn)，四種顏色足夠。他于是猜想對任何地圖也是如此。他把這個想法告訴正在倫敦大學學習的弟弟弗雷德里克，他弟弟當然解決不了這個問題，于是向他的老師、著名數(shù)學家德·摩爾根請教，他也不能解決這個問題，便于1852年lO月23日寫信給當時最偉大的科學家哈密頓，這成為四色問題第一個人歷史文獻。不過，哈密頓對這類好像數(shù)學游戲的問題不太感興趣，德·摩爾根于是繼續(xù)宣傳，直到另一位英國數(shù)學家凱萊于1878年在皇家學會上正式提出并在《皇家地理學會會報》上發(fā)表，這才引起人們對四色問題的廣泛重視。各國數(shù)學中心和數(shù)學雜志都收到大量的錯誤證明，就如同以后的費馬大定理和哥德巴赫猜想一樣。

正如許多這類提法簡單而證明極為困難的大猜想一樣，大量的“證明”完全離譜，但也有的包含可貴的思想，當然這些思想只能來自有數(shù)學訓練的人。1879年，劍橋大學三一學院數(shù)學畢業(yè)生肯普先在《自然》雜志，后在《美國數(shù)學雜志》上發(fā)表四色猜想的證明。然而到1890年，一位大學數(shù)學講師希伍德指出肯普的“證明”中有一個漏洞，然后，他應用肯普的方法給出一個定理——五色定理，也就是五色足夠。盡管四色定理沒有得到證明，肯普和希伍德對于后來圖論的發(fā)展都作出決定性的貢獻。一位圖論大師說道，1890年四色問題的研究主要沿著兩條道路發(fā)展：一條是定性的，主要是肯普發(fā)明的“鏈”方法，一條是定量的，主要是希伍德的方法，其思想基礎是尋找一個極小的反例。開始的作法是對于區(qū)域數(shù)目很少的地圖證明四色定理，由于區(qū)域數(shù)越多，可能的構形數(shù)目也越多，因此到1976年，雖然區(qū)域數(shù)接近100個，但這個問題還差得很遠。

計算機的參與

要想完整地證明四色定理，還是需要在概念上下工夫，特別是要尋找可約化的構形，也就是把區(qū)域數(shù)多的問題簡化為區(qū)域數(shù)少的情形。20世紀60年代、70年代當時估計這種構形有8000到10000個，這用計算機也辦不到。后來阿沛爾及哈肯用計算機搜索，發(fā)現(xiàn)只有不到2000個，從而完成了全部的證明。它用了1200小時的機時，相當于計算機連續(xù)算50個晝夜。這成為第一個用計算機證明的大定理。芝加哥的郵局信封上也印有“四色足夠”的字樣。它轟動了整個世界。但是數(shù)學界對此并不放心，于是阿沛爾和哈肯又進行了系統(tǒng)的檢查，的確發(fā)現(xiàn)并糾正了一些小的錯誤，并在1989年發(fā)表修正后的論文。

但是，這仍然不能平息人們的疑慮，另一組數(shù)學家企圖通過手寫來證明，但是，沒有成功。他們的貢獻在于使用的可約化構形數(shù)目大大減少了，減少到633種構形。整個證明簡單，而且容易復核，雖然仍需計算機幫助，但再次肯定四色猜想的確成為定理。

幾點啟示

首先，雖然迄今為止，四色猜想仍是電腦證明數(shù)學難題絕無僅有的一例，但它昭示了“機器證明”時代的到來。它可能開辟了人與機器合作去解決問題的新途徑，成為數(shù)學上一系列新思維的起點。

其次，四色猜想的證明，是人工智能機器與人類本身關系的一次驗證。通過人工智能的運用，找到一些數(shù)學難題解決的途徑，不應該給人們帶來某些顧慮(似乎在人工智能機器面前，人類顯得如此渺小和無能，由此甚至產生“機器取代人腦”的恐懼)。四色猜想是第一個用計算機輔助證明的大定理，但是主導整個證明的是數(shù)學家，計算機只是進行機械化的運算。

第三，四色猜想看來是一個帶有數(shù)學游戲性質的孤立的問題，可是它卻創(chuàng)造出圖論許多新的分支。數(shù)學家的本事在于他們能夠把復雜的事物變成簡單的對象。從四色問題就可以做這樣的化簡：一個區(qū)域不妨看成一個點，任何兩個區(qū)域或者相鄰(也就是公用一條邊界)，或是不相鄰。如果代表兩個區(qū)域的點相鄰，那么我們就在兩點之間連上一條線，否則就不連線。這樣的結構就稱為圖。四色問題也就變成圖的頂點著色的問題，也就是兩頂點如果有線相連，則必須涂上不同顏色。