摘要：運用辯證唯物主義的思想，探討極限法的認識功能。

關鍵詞：極限法；辯證法；有限與無限;近似與準確;量變與質(zhì)變

眾所周知，微積分學包含著豐富的辯證思想，正如恩格斯所說：“變數(shù)的數(shù)學——其中最重要的部分是微積分——本質(zhì)上不外是辯證法在數(shù)學方面的運用?！倍⒎e分的基本方法就是極限法。即：“微積分是用極限法研究函數(shù)的學科?！币虼艘獙W好和用好微積分的關鍵是要理解和掌握極限法。所謂極限法就是利用極限來分析問題和解決問題。其解決問題的步驟:欲求某個量先構(gòu)造一個有關變量，認準該變量變化的結(jié)果就是要求的量，然后通過取極限得到新的所求量。運用極限法，不是靜止地、孤立地看問題，而是用運動的觀點，變化的觀點看問題，看事物的運動變化，看事物的相互聯(lián)系。即要用辯證的思維方法。借助極限法，人們可以“利用有限認識無限”，“利用近似認識準確”，“利用量變認識質(zhì)變”，“利用常量認識變量”。本文就極限法的認識功能談辯證法在數(shù)學中的運用。

1. 利用有限認識無限

有限與無限是一對古老的哲學范疇，也是自然科學、數(shù)學中終究免不了要涉及到的一對有爭議的范疇。所謂的有限，一般是指有條件，受到一定限制，有生有滅，有始有終，可窮盡的意思。而無限即是“非有限”，通常指無條件，不受限制，不生不滅，無始無終，無窮盡的意思。有限與無限是辯證的統(tǒng)一，無限包含著有限，無限是由有限構(gòu)成的，但不是靜止的有限物的堆積。有限與無限之間相互滲透，可以相互轉(zhuǎn)化。極限法就是用變化的觀點去考察問題。從變化當中去認識事物，利用有限去認識無限。

例如：希臘詭辯學派哲學家芝諾提出的四個有名悖論中最著名的“追龜說”，芝諾說，阿基里斯(希臘神話中善跑如飛的英雄)追烏龜，永遠追不上。芝諾并不是真的認為阿氏追不上龜，問題在于他和當時的很多學者都不知道阿氏在何時何地追上龜。這一問題只要利用極限概念就可確切地回答。其實質(zhì)：加數(shù)的個數(shù)雖無止境，但其和是一個有限數(shù)。

以上充分體現(xiàn)了從有限過渡轉(zhuǎn)化到無限這一極限法的認識功能。正如列寧所說，“使有限轉(zhuǎn)化為無限的不是外在的力量，而是它（有限）的本性?！倍坝邢拮陨淼谋拘?，就是超越自己，否定自己的否定，并成為無限。”

2. 利用近似認識準確

精確和近似是相對性的，它們既是相互區(qū)別的，又是相互聯(lián)系的。近似的量不等于確定的量，但近似有精確的表示，本質(zhì)上仍屬于精確范疇，運用極限法要去確定某一個量。我們首先確定的不是這個量本身，而是它的近似值；不只是一個近似值，而是一連串起來越準確的近似值，然后通過考察這一連串近似值的趨向，把那個量的準確值確定下來。

如:劉徽的割圓術(shù):“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。”這里就用到了極限法的思想，即：用圓內(nèi)接正多邊形的面積來求圓的面積。當多邊形的邊數(shù)無限增加時，多邊形的面積和圓的面積越來越接近。N很大時，內(nèi)接正n邊形的面積Sn就很近似于圓的面積S；n越大，近似程度越高。但是不論n多么大，這時的面積Sn還只是圓面積的近似值，而不是圓面積的精確值。

3. 利用量變認識質(zhì)變

量和質(zhì)是事物兩種不同的規(guī)定性。質(zhì)就是一事物區(qū)別于它事物的內(nèi)部所固有的規(guī)定性。量也是事物所固有的一種規(guī)定性。它是事物的規(guī)模、程度、速度，以及它的構(gòu)成部分在空間上的排列組合等可以用數(shù)量表示的規(guī)定性。量變和質(zhì)變是事物變化的兩種形式或兩種狀態(tài)。量變就是事物量的變化，即數(shù)量的增減和場所的變動。質(zhì)變就是事物性質(zhì)的變化，是由一種質(zhì)態(tài)向另一種質(zhì)態(tài)的轉(zhuǎn)變。量變和質(zhì)變的關系是辯證的，是對立的統(tǒng)一。量的分割達到一定的程度，就產(chǎn)生了不同質(zhì)的物質(zhì)體。恩格斯說過：“純粹的量的分割是有一個極限的，到了這個極限它就轉(zhuǎn)化為質(zhì)的差別?！?/p>

運用極限法可以使我們更清楚地認識到量變轉(zhuǎn)化為質(zhì)變這一辯證的關系。

例如：利用圓內(nèi)接正多邊形的面積求圓面積。要完成這種從多邊形到圓的過渡，就要求人們在觀念上，在思考方法上要有一個突破。

這里的困難就在于多邊形的周界是一些直線段，而圓的周界是處處彎曲的。即面臨著“曲”與“直”這樣一對矛盾，唯物辯證法認為，在一定條件下，曲與直的矛盾可以互相轉(zhuǎn)化。

當n很大時，內(nèi)接正n邊形的面積Sn就很近似于圓的面積S。n越大，近似程度越高。但是不論n多么大，這樣算出來的總還是多邊形的面積。無論如何它只是圓面積的近似值，而不是圓面積的精確值。

4. 利用常量認識變量

我們知道，初等數(shù)學基本上是常量數(shù)學，而微積分則屬于變量數(shù)學。在數(shù)學的歷史上，自從出現(xiàn)了解析幾何并繼而產(chǎn)生了微積分以后，便開始了變量數(shù)學的研究。正如恩格斯所指出的，變量概念的出現(xiàn)是數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點。

所謂常量，即固定不變的量。所謂變量，就是變化著的量。常量和變量是辯證的統(tǒng)一，是有差異的統(tǒng)一，相互可以進行轉(zhuǎn)化。極限法就是用運動的觀點，變化的觀點考察事物的運動和變化過程。

例如：求自由落體的運動速度。

綜上，我們所遇到的矛盾，有的表現(xiàn)為有限與無限的矛盾，有的表現(xiàn)為常量與變量的矛盾，有的表現(xiàn)為曲與直的矛盾等等。解決這些矛盾的方法，首先是局部“以直代曲”、“以不變代變”等等，從而求得問題的近似解答，最后都歸結(jié)為近似與精確的矛盾。為了解決近似與精確的矛盾，我們都是用運動和變化的觀點看問題，看事物的運動變化和相互聯(lián)系。通過觀察一系列近似值的變化趨勢，得出精確的解答。即所謂的極限法。借助極限法我們可以從有限過渡到無限，從近似過渡到精確，從量變過渡到質(zhì)變，從常量過渡到變量，這正是極限法的認識功能，是辯證法在數(shù)學中的運用。

參考文獻：

[1] 劉云章.打開你的數(shù)學思路.江蘇科技出版社.

[2] 吉大數(shù)學系.數(shù)學分析.人民教育出版社.

[3] 舒煒亮.自然辯證法原理.吉林人民出版社.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>