例1圖1是由六個(gè)正方形拼成的長(zhǎng)方形,已知中間的小正方形的邊長(zhǎng)為1,則長(zhǎng)方形的面積為 .
解析給六個(gè)正方形分別標(biāo)上1~6六個(gè)數(shù)字,設(shè)正方形2的邊長(zhǎng)為x,則正方形3的邊長(zhǎng)也為x,正方形4的邊長(zhǎng)為x+1,正方形5的邊長(zhǎng)為x+2,正方形6的邊長(zhǎng)為x+3.
根據(jù)長(zhǎng)方形的對(duì)邊相等,可得方程:
x+x+(x+1)=(x+2)+(x+3),解得x=4.
從而得到長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為3x+1=13,寬為2x+3=11,所以長(zhǎng)方形的面積為13×11=143.
例2(山東棗莊中考試題)圖2是由9個(gè)等邊三角形拼成的六邊形,若已知中間的小等邊三角形的邊長(zhǎng)為a,則六邊形的周長(zhǎng)是 .
解析給9個(gè)等邊三角形分別標(biāo)上1~9九個(gè)數(shù)字,設(shè)等邊三角形2的邊長(zhǎng)為x,則等邊三角形3與4的邊長(zhǎng)也為x,等邊三角形5與6的邊長(zhǎng)為x+a,等邊三角形7與8的邊長(zhǎng)為x+2a,等邊三角形9的邊長(zhǎng)為x+3a.
從圖中可以看出,等邊三角形9的邊長(zhǎng)等于等邊三角形2與4的邊長(zhǎng)之和,可得方程:x+3a=2x,解得x=3a.
所以六邊形的周長(zhǎng)x+x+(x+a)+(x+a)+(x+2a)+(x+2a)+(x+3a)=7x+9a=7×3a+9a=30a.
例3將-1~-8以及1~8這16個(gè)整數(shù)填入4×4的正方形表格中,使得每行、每列、每條對(duì)角線上四個(gè)數(shù)字之和都相等,如圖3所示,恰有8個(gè)標(biāo)有序號(hào)的小方格中填的數(shù)被一個(gè)頑皮的小朋友擦掉了,請(qǐng)你將這擦掉的8個(gè)數(shù)設(shè)法恢復(fù)出來(lái).
解析設(shè)所填表中每行、每列、每條對(duì)角線四數(shù)之和為S, 則4S=(-1)+(-2)+…+(-8)+1+2+…+8=0,得S=0.即所填表中每行、每列、每條對(duì)角線四數(shù)之和為0.
設(shè)序號(hào)為①的方格中的數(shù)為x,則序號(hào)為②的方格中的數(shù)為-3-x;序號(hào)為③的方格中的數(shù)為16+x;序號(hào)為④的方格中的數(shù)為-12-x;序號(hào)為⑤的方格中的數(shù)為11+x;序號(hào)為⑥的方格中的數(shù)為-10-x;序號(hào)為⑦的方格中的數(shù)為5+x;序號(hào)為⑧的方格中的數(shù)為-1-x.如圖4所示.
由對(duì)角線①、⑦、⑤、③四數(shù)相加為0,得x+(5+x)+(11+x)+(16+x)=0,解得x=-8.于是可以依次算出被擦掉的各數(shù),恢復(fù)后如圖5所示.
例4(北京“迎春杯”競(jìng)賽試題)在圖6中有9個(gè)方格,要求在每個(gè)方格內(nèi)填入不同的數(shù),使得每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和都相等,試問(wèn):圖6中左上角的數(shù)是多少?
解析雖然要求的只是左上角的數(shù),但是題目中的條件還與其它位置的數(shù)有關(guān),因此需恰當(dāng)?shù)卦鲈O(shè)不同的字母來(lái)表示,以便充分運(yùn)用已知條件.
如圖7,設(shè)相應(yīng)方格中的數(shù)分別為x1, x2, x3和x4 ,問(wèn)號(hào)處填入的數(shù)為x,由已知條件得
x+x1+x2=x+x3+x4=x1+x3+13=x2+19+x4.
由前兩個(gè)式子之和等于后兩個(gè)式子之和,得到
2x+x1+x2+x3+x4=13+19+x1+x2+x3+x4.
所以2x=13+19,解得x=16,即圖6中左上角的數(shù)為16.
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