數(shù)軸形象地反映了數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一，它可以幫助我們直觀地理解有理數(shù)中的有關(guān)概念，還可以運(yùn)用它來解決許多數(shù)學(xué)問題.因此，要學(xué)好有理數(shù)，一定要學(xué)好數(shù)軸、用好數(shù)軸.

一、如何學(xué)好數(shù)軸

要學(xué)好數(shù)軸必須注意以下兩點(diǎn)：

1．正確畫好數(shù)軸.規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸.可見，數(shù)軸必須具備三大要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度，三者缺一不可，否則就不是數(shù)軸.有些同學(xué)常將數(shù)軸畫成如下的圖形，它們都不是數(shù)軸，你知道為什么嗎？

答案：（1）出現(xiàn)了兩個(gè)正方向；（2）缺少正方向；（3）缺少單位長(zhǎng)度；（4）缺少原點(diǎn)；（5）單位長(zhǎng)度不一致；（6）負(fù)數(shù)的排列錯(cuò)誤.

2．正確理解有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)之間的關(guān)系.正有理數(shù)可以用原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示，負(fù)有理數(shù)可以用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示，零用原點(diǎn)表示.可見，所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，但是反過來，數(shù)軸上的點(diǎn)并不都表示有理數(shù)（還可以表示無理數(shù)，這在以后將學(xué)到）.

二、怎樣用好數(shù)軸

要用好數(shù)軸，就要從以下幾個(gè)方面入手：

1．利用數(shù)軸加深對(duì)有理數(shù)的認(rèn)識(shí)

（1）正確認(rèn)識(shí)0

負(fù)數(shù)的引入，使數(shù)的范圍擴(kuò)大了，0除了表示一個(gè)也沒有外，還是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界嶺，它既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù).從數(shù)軸上看，表示0的原點(diǎn)的左邊是表示負(fù)數(shù)的點(diǎn)，右邊是表示正數(shù)的點(diǎn).

（2）正確認(rèn)識(shí)整數(shù)

從數(shù)軸上可以看出：沒有最小的整數(shù)，也沒有最大的整數(shù)；最大的負(fù)整數(shù)是-1，最小的正整數(shù)是1.

（3）正確理解正數(shù)、負(fù)數(shù)

在數(shù)軸上，原點(diǎn)左邊的所有點(diǎn)都表示負(fù)數(shù)，且越往左邊，數(shù)越小；原點(diǎn)右邊的所有點(diǎn)都表示正數(shù)，且越往右邊，數(shù)越大.從數(shù)軸上可以看出，沒有最小的負(fù)數(shù)，也沒有最大的負(fù)數(shù)，同樣，沒有最小的正數(shù)，也沒有最大的正數(shù).

例1 （呼和浩特市中考試題）點(diǎn)A為數(shù)軸上表示-2的點(diǎn)，當(dāng)A點(diǎn)沿?cái)?shù)軸移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)B所表示的數(shù)為（ ）.

A．2 B.-6 C.2或-6 D.不同于以上答案

解析：本題因?yàn)闆]有說明點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸移動(dòng)的方向，故結(jié)合數(shù)軸（如圖1）可知，本題有兩個(gè)答案：分別為2或-6，所以選C.

2．利用數(shù)軸理解相反數(shù)的意義

只有符號(hào)不同絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，零的相反數(shù)為零.結(jié)合數(shù)軸，我們可以更深刻地理解相反數(shù)的含義：位于原點(diǎn)的兩旁，并且到原點(diǎn)的距離相等.

例2 判斷正誤：到原點(diǎn)的距離是4個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)應(yīng)有兩個(gè)，分別在原點(diǎn)的左邊、右邊，表示的數(shù)為-4或4. （ ）

解：判“√”.

3．利用數(shù)軸理解絕對(duì)值的意義

一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值.求一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值，就是求它到原點(diǎn)的距離.因?yàn)榫嚯x不可能是負(fù)數(shù)，所以任何一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，即對(duì)于有理數(shù)a，a≥0.絕對(duì)值的意義從數(shù)軸上看更是一目了然.一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0.特別地，兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，其絕對(duì)值必相等；若兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么，這兩個(gè)數(shù)有兩種情況：相等或互為相反數(shù).

例3 已知x=2.6，求x的值.

解：x＝±2.6.

4．利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小

在數(shù)軸上表示的兩個(gè)有理數(shù)，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大.要比較幾個(gè)有理數(shù)的大小，只要把它們都表示在同一條數(shù)軸上，可以非常直觀地確定：從左到右，就是由小到大.

解：根據(jù)絕對(duì)值的意義及題設(shè)，在數(shù)軸上作出數(shù)a、b、c對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A、B、C，如圖4.

數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與A、B、C三點(diǎn)的距離之和不可能小于AC的長(zhǎng)，僅當(dāng)數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與B重合時(shí)，y取得最小值A(chǔ)C.

AC=c-a=c-a，即y最小值=c-a.

6．利用數(shù)軸解應(yīng)用題

例7 某班有45名學(xué)生，參加語(yǔ)文競(jìng)賽的有21人，參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有30人，兩科競(jìng)賽都沒有參加的有6人，問兩科競(jìng)賽都參加的有幾人？

解析：畫出數(shù)軸如圖5，AB表示該班的學(xué)生，EF表示參加語(yǔ)文競(jìng)賽的學(xué)生，CD表示參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的學(xué)生，CF表示兩科競(jìng)賽都參加的學(xué)生，AE和BD表示兩科都沒有參加的學(xué)生.設(shè)兩科競(jìng)賽都參加的學(xué)生有x人，則有：

6+21-x+x+30-x＝45，解得x＝12.

例8 父親是兒子現(xiàn)在年齡時(shí)，兒子已經(jīng)10歲，而當(dāng)兒子是父親現(xiàn)在年齡時(shí)，父親將82歲，問父子兩人相差幾歲？

解析：如圖6所示，利用數(shù)軸來求解.設(shè)A、B兩點(diǎn)分別表示兒子和父親現(xiàn)在的年齡，并設(shè)兩人的年齡相差x歲.由于父子兩人相差的年齡不變，從而可將問題中的條件在數(shù)軸上表示出來，顯然從數(shù)軸上可以看出：3x+10＝82，解得：x＝24，即父子兩人相差24歲.