摘 要：運(yùn)動(dòng)的分解是運(yùn)動(dòng)合成的逆運(yùn)算，把一個(gè)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分解時(shí)，要根據(jù)運(yùn)動(dòng)的實(shí)際效果來(lái)確定分運(yùn)動(dòng)。在高中階段，對(duì)于為什么要把某一些運(yùn)動(dòng)分解為一個(gè)平動(dòng)和一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)，學(xué)生非常困惑，為此筆者根據(jù)自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，從發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、突破難點(diǎn)、例題解析、問(wèn)題辨析等幾個(gè)方面一步一步地展開(kāi)教學(xué)，并總結(jié)出了解決此類繩聯(lián)問(wèn)題的特殊方法——繩子速度相等法。

關(guān)鍵詞：速度分解；特殊方法；繩子速度相等法

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1003-6148(2007)8(S)-0032-3

運(yùn)動(dòng)的分解是運(yùn)動(dòng)合成的逆運(yùn)算，遵守平行四邊形定則，把一個(gè)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分解時(shí)，要根據(jù)運(yùn)動(dòng)的實(shí)際效果來(lái)確定分運(yùn)動(dòng)，高中階段一般有兩類分解方式：(1)把一個(gè)合運(yùn)動(dòng)分解為兩個(gè)互相垂直的平動(dòng)；(2)把一個(gè)合運(yùn)動(dòng)分解為一個(gè)平動(dòng)和一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)。

筆者在教學(xué)中，對(duì)怎樣讓學(xué)生更好地理解第二種分解方式有一點(diǎn)心得，在此與各位交流。為了更好地讓學(xué)生學(xué)習(xí)，把該類問(wèn)題統(tǒng)稱為繩聯(lián)問(wèn)題，解答方法稱為繩子速度相等法。

1 問(wèn)題提出

例1 如圖1所示，物體甲以速度v₁拉著物體乙前進(jìn)，乙的速度為v₂，甲、乙都在水平面上運(yùn)

動(dòng)，求v₁∶v₂。

解法1 如圖2所示，物體甲、乙沿繩的速度分別為v₁和v₂cosα，兩者應(yīng)該相等，所以有v₁∶v₂=cosα∶1。

解法2 如圖3所示，物體甲沿繩的速度為v₁，把v₁按豎直和水平方向分解，v₁的水平方向分速度就是v₂，所以有v₁∶v₂=1∶cosα。

以上兩種解答在同學(xué)中很普遍，且第二種解答很容易與力的正交分解類比，而被同學(xué)們廣泛接受。那么，哪種解答是正確的呢?

2 發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

如圖4所示，根據(jù)運(yùn)動(dòng)關(guān)系可知，在時(shí)間t內(nèi)物體甲運(yùn)動(dòng)的位移為L(zhǎng)₁-L₂，而乙的位

移為L(zhǎng)₃。由三角形知識(shí)易知：L₁-L₂＜L₃，可見(jiàn)v₁＜v₂，第二種解答肯定是錯(cuò)誤的。那么，第一種解答是否就是正確的呢?

3 突破難點(diǎn)

3.1 如圖5所示，兩個(gè)小球用輕彈簧相連接，沿水平方向向右運(yùn)動(dòng)，彈簧處于原長(zhǎng)狀態(tài)。若后面小球的速度大于前面小球的速度，則彈簧將被壓縮，反之則伸長(zhǎng)，要保證彈簧既不壓縮又不伸長(zhǎng)，只有兩小球沿水平方向有共同速

度。

3.2 同學(xué)們請(qǐng)看下面的情景，如圖6所示，物體M在一根桿OA上，桿可繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，物體M可沿桿上下爬，在物體M后系一根不可伸長(zhǎng)的輕繩，繩繞過(guò)光滑的定滑輪與另一個(gè)小物體m相連。

(1)桿繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，物體M不動(dòng)，小物體m也不動(dòng)，如圖7所示。

（2）桿不動(dòng)，物體M沿桿上下爬動(dòng)，小物體m也上下移動(dòng)；且兩者在相等時(shí)間內(nèi)移動(dòng)的距離相等?？梢?jiàn)，小物體m的移動(dòng)速度大小取決于物體M沿桿方向爬行的速度，如圖8所示。

（3）當(dāng)桿繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，物體M沿桿上下爬動(dòng)，小物體m也上下移動(dòng)；此時(shí)物體M參與了兩個(gè)運(yùn)動(dòng)，一是隨桿的轉(zhuǎn)動(dòng)，

速度為v⊥，另一個(gè)是沿桿的爬行，速度為v∥。此時(shí)也可以看到，兩者在相等時(shí)間內(nèi)移動(dòng)的距離關(guān)系是：物體M沿桿爬動(dòng)的距離等于物體m上下移動(dòng)的距離?？梢?jiàn)，小物體m的移動(dòng)速度大小取決于物體M沿桿方向爬行的速度，如圖9所示。

在不計(jì)繩的質(zhì)量和形變、以及摩擦阻力的條件下，根據(jù)能的轉(zhuǎn)化和守恒定律，外力對(duì)繩的瞬時(shí)功率大小等于繩對(duì)被牽引物的瞬時(shí)功率大小。如圖10所示，F(xiàn)₁拉繩的功率為F₁v₁，v₁為拉繩的速度，F(xiàn)₂拉車的功率為F₂v₂cosα，v₂為車前進(jìn)(即合運(yùn)動(dòng))的速度，由F₁v₁=F₂v₂cosα，又F₁=F₂，故v₁=v₂cosα。

結(jié)論：對(duì)于繩聯(lián)(或桿聯(lián))問(wèn)題，由于繩(或桿聯(lián))不可伸長(zhǎng)時(shí)，繩聯(lián)(或桿聯(lián))物體的速度在繩方向上的投影相等。求繩聯(lián)物體的速度關(guān)聯(lián)問(wèn)題時(shí)，首先要明確繩聯(lián)物體的速度，然后將兩物體的速度分別沿繩的方向和垂直于繩的方向進(jìn)行分解，令兩物體沿繩方向的速度相等即可求出。

4 例題解析

例1 一半徑為A的半圓形豎直圓柱面，用輕質(zhì)不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩連接A、B兩球，懸掛在圓柱面邊緣兩側(cè)，A球質(zhì)量為B球質(zhì)量的2倍，現(xiàn)將A球從圓柱邊緣處由靜止釋放，如圖11。已知A始終不離開(kāi)球面，且細(xì)繩足夠長(zhǎng)，若不計(jì)一切 摩擦。求A球沿圓柱面滑至最低點(diǎn)時(shí)速度的大小。

解析 當(dāng)A球從圓柱邊緣處沿圓柱面滑至最低點(diǎn)時(shí)，走過(guò)的路程是1／4圓弧，而月球走過(guò)的路程等于1／4圓弧所對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)，設(shè)A球滑至最低點(diǎn)時(shí)速度大小為v_A，此時(shí)B球速度大小為v_B。有關(guān)系：v_B=v_Acos45°

對(duì)整個(gè)系統(tǒng)，以圓柱的水平直徑為零勢(shì)點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律有：

5 問(wèn)題引伸

例2 如圖12所示，光滑半圓上有兩個(gè)小球(可看作質(zhì)點(diǎn))，質(zhì)量分別為m和M，由不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩掛著，今由靜止開(kāi)始釋放。求小球m沿光滑半圓運(yùn)動(dòng)至半圓的最高點(diǎn)C點(diǎn)時(shí)的速度是多少 (小球m沿光滑半圓運(yùn)動(dòng)至半圓的最高點(diǎn)C點(diǎn)的過(guò)程中不脫離半圓。)？

解析 從如圖所示位置由靜止釋放，到B達(dá)到半圓頂點(diǎn)這一過(guò)程中M受到重力Mg和牽引力F的作用，m將受牽引力F′和重力mg的作用以及球面支持力FN的作用。m和M都將作變加速運(yùn)動(dòng)，本題中m走過(guò)的圓弧長(zhǎng)度始終等于M下降的高度，故二者的速度大小始終相等。當(dāng)m從半圓邊緣處沿半圓面滑至最高點(diǎn)時(shí)，走過(guò)的路程是1／4圓弧，而M下降的高度也等于1／4圓弧長(zhǎng)。

對(duì)整個(gè)系統(tǒng)，以半圓的水平直徑為零勢(shì)點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律有：

(欄目編輯鄧 磊)

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