在“追溯‘力的平行四邊形定則’的由來”一文（刊于今年第三期）中，筆者曾寫道“包括拉普拉斯、茹可夫斯基……等眾多力學(xué)家在內(nèi)，都花了許多時(shí)間來爭(zhēng)論：‘這個(gè)法則究竟是一個(gè)數(shù)學(xué)定理，還是一個(gè)勿需證明的經(jīng)驗(yàn)法則或常識(shí)？’”進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，這個(gè)問題其實(shí)早在19世紀(jì)下半葉黎曼幾何創(chuàng)立的過程中就已經(jīng)得到了解決。由于涉及到空間的幾何性質(zhì)，且囿于學(xué)科壁壘，當(dāng)年的大家們無由解惑，抱憾綿綿。本文在回顧伽俐略用幾何法對(duì)運(yùn)動(dòng)疊加的研究的基礎(chǔ)上，簡(jiǎn)介工業(yè)革命和數(shù)學(xué)對(duì)矢量理論確立的決定性作用，最后從物體在黎曼的橢圓幾何空間運(yùn)動(dòng)的不可對(duì)易性入手，論證了力的平行四邊形定則的成立條件。

1 伽俐略的貢獻(xiàn)

矢量加法（合成）的基本法則有四種：平行四邊形法、三角形法、多邊形法和正交分解法。從物理本質(zhì)看，它們是同一種方法的不同呈現(xiàn)形式，其中，平行四邊形法最直觀，三角形法是基礎(chǔ)。在物理學(xué)發(fā)展史上，伽利略首先用三角形法研究運(yùn)動(dòng)合成問題的濫觴。

伽俐略在《關(guān)于兩門新科學(xué)的對(duì)話》的“定理2，命題2”中詮釋道：一個(gè)物體同時(shí)被兩個(gè)勻速運(yùn)動(dòng)所推動(dòng)，cb和ba分別表示在相同時(shí)間間隔內(nèi)的水平位移和垂直位移（圖1），那么，被這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)推動(dòng)的物體描繪出的軌跡是對(duì)角線ca，有ca²=cb²+ba²，即合位移的平方等于兩個(gè)分位移的平方和。在這里，伽利略首開了用幾何法研究運(yùn)動(dòng)疊加問題的先河。他是依靠思辨與實(shí)驗(yàn)相互印證、相互補(bǔ)充，才得出這個(gè)結(jié)論的。

矢量及其合成的概念萌芽于二千多年前，但是矢量理論的建立卻是十九世紀(jì)的事。其時(shí)正是歐洲進(jìn)入和深化工業(yè)革命的時(shí)代，大功率的蒸汽動(dòng)力機(jī)、快速運(yùn)轉(zhuǎn)的多軸紡車、各種傳動(dòng)裝置的出現(xiàn)，使“力”、“速度”、“加速度”、“位移”等既含有“大小”又含有“方向” 要素的量的使用率越來越高。在隨之而來的對(duì)連桿、曲軸和工件的平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和進(jìn)動(dòng)等復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的研究過程中，運(yùn)動(dòng)疊加（合成）原理得到精準(zhǔn)的體現(xiàn)和驗(yàn)證，運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性、等時(shí)性和矢量性原理也被深刻地揭示。與此同時(shí)，矢量理論的數(shù)學(xué)探討也提上了議事日程。挪威數(shù)學(xué)家維塞爾和英國(guó)著名數(shù)理學(xué)家哈密頓等人用矢量來解說復(fù)數(shù)，從而使復(fù)數(shù)走向?qū)嶋H；又用復(fù)數(shù)來描述矢量，讓矢量代數(shù)化，最終奠定了矢量理論基礎(chǔ)，也使力的平行四邊形定則為人類的理性所服膺。

2 力的平行四邊形定則和空間的幾何性質(zhì)

力的平行四邊形定則，更一般地說，矢量加法的基本規(guī)律及其結(jié)果與相加的次序是否有關(guān)，決定性地依賴于所處空間的幾何性質(zhì)。如果空間遵守歐幾里得幾何學(xué)的規(guī)律，即如那本流行暢銷書的書名所云“這世界是平的”（The world is flat），那么就一切順暢，平行四邊形法、三角形法和正交分解法，愛用哪個(gè)用哪個(gè)，愛怎么用就怎么用，完全不受次序的限制。如果是黎曼的橢圓幾何空間(三角形內(nèi)角和＞π)，情況就起變化了。

如圖2，從地球赤道上一點(diǎn)A向東移1600km到B，接著向北移1600km到C，并不同于兩個(gè)次序相反的同等位移A-D-E（AD和DE仍是在兩正交的大圓周上），它們的終點(diǎn)C、E兩點(diǎn)相差近64km(可用球面余弦公式計(jì)算)！也就是說，如果位移的幅度比起球的半徑不算小的話，在一球面上的位移是不能對(duì)易的。這就意味著包括力的平行四邊形定則在內(nèi)矢量加法的正確性，是一個(gè)實(shí)驗(yàn)問題（幾何學(xué)本來就是一門實(shí)驗(yàn)科學(xué)），測(cè)試出來的偏離，可以用來推斷有關(guān)我們?cè)谄渲胁僮鞯目臻g的幾何性質(zhì)。

總之，涵蓋了力的平行四邊形定則在內(nèi)的矢量及其運(yùn)算規(guī)律并不是憑空產(chǎn)生的，它是由人們生活、生產(chǎn)中時(shí)刻遇到的那些經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)不斷地抽象、升華、提煉而成的，從而具有廣泛的應(yīng)用性。我們不能脫離空間特性獨(dú)立定義矢量。實(shí)際上，空間矢量正是由空間定義直接給出的。平行四邊形定則只是在空間各向同性的前提下，適用于那些滿足獨(dú)立作用原理的、可定義大小、方向的量。

參考文獻(xiàn)：

［1］伽俐略著，武際可譯.關(guān)于兩門新科學(xué)的對(duì)話.［意］ 北京：北京大學(xué)出版社，2006.6：238~239．

［2］I．С．庫(kù)德里亞夫采夫等著，梁坑等譯.物理學(xué)史與科技史.［蘇］［J］.黑龍江教育出版社，1985．9 ．

［3］弗倫奇著，郭敦仁，何成鈞譯.牛頓力學(xué).［美］．北京：人民教育出版社，1978．12：275-59．

［4］李德明，陳昌明著.經(jīng)典力學(xué)１.北京：高等教育出版社，2006．5：254-256．

(欄目編輯趙保鋼)