天體、衛(wèi)星的實(shí)際軌道是橢圓而不是圓，遵循開普勒三定律。在近似計(jì)算中認(rèn)為，行星繞恒星或衛(wèi)星繞行星運(yùn)轉(zhuǎn)的軌道近似為圓。該部分題型多，牽涉到的知識(shí)點(diǎn)較廣，綜合性也較強(qiáng)，對(duì)其分析總結(jié)基本思路及處理方法，對(duì)題型進(jìn)行必要的探秘，能使學(xué)生的學(xué)習(xí)起到事半功倍的效果。

1 基本思路及處理方法

基本思路：1、天體、行星的運(yùn)動(dòng)看成是勻速圓周運(yùn)動(dòng)；2、萬(wàn)有引力提供向心力。

處理方法：萬(wàn)有引力與天體、行星運(yùn)動(dòng)的問題涉及的關(guān)系較多，例如周期、角速度、質(zhì)量、密度、重力加速度等。雖然題目千變?nèi)f化，但是有一點(diǎn)是相同的，即萬(wàn)有引力作為向心力。因此有關(guān)天體、衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的題目，都可以處理成勻速圓周運(yùn)動(dòng)的模型，根據(jù)萬(wàn)有引力等于向心力結(jié)合不同的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系式推導(dǎo)即可。

此外在做題時(shí)要抓住“題眼”，比如題目要求重力加速度，則自然想到萬(wàn)有引力等于重力。題目要求行星、衛(wèi)星的周期，則自然想到萬(wàn)有引力等于向心力的公式選用含有周期的形式，這樣可以快速找到思路做答。在解答過程中若遇到萬(wàn)有引力常量G沒有告訴時(shí)利用GM=gR2來做常數(shù)代換。

2 題型探秘

遇到天體做橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)求周期、線速度等的定量計(jì)算問題，因橢圓運(yùn)動(dòng)不滿足萬(wàn)有引力等于向心力的規(guī)律，只能用開普勒定律求解。

題型1 對(duì)開普勒行星運(yùn)動(dòng)三定律的考查

例1 1970年4月24日我國(guó)發(fā)射了第一顆人造衛(wèi)星，其近地點(diǎn)是h1=439km高度，遠(yuǎn)地點(diǎn)h2=2384km高度，則近地點(diǎn)與遠(yuǎn)地點(diǎn)衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)速率之比 =____________(已知R地=6400km，用h1、h2、R地表示，不計(jì)算)。

題型2 對(duì)萬(wàn)有引力定律的理解

1、萬(wàn)有引力公式適用于兩質(zhì)點(diǎn)間的引力大小的計(jì)算。

2、對(duì)于可視為質(zhì)點(diǎn)的物體間的引力的求解也可以利用萬(wàn)有引力公式，如兩物體距離遠(yuǎn)大于物體本身大小時(shí)，物體可看作質(zhì)點(diǎn)；質(zhì)量分布均勻形狀規(guī)則的物體質(zhì)量可看作集中于物體的重心。

3、當(dāng)研究物體不能看成質(zhì)點(diǎn)時(shí)，可以把物體假想分割成無(wú)數(shù)個(gè)質(zhì)點(diǎn)，求出兩個(gè)物體上每個(gè)質(zhì)點(diǎn)與另一個(gè)物體上所有質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力，然后求合力。例如將物體放在地球的球心時(shí)，由于物體各方受到相互對(duì)稱的萬(wàn)有引力，故合外力為零，即放在地心的物體受地球的萬(wàn)有引力為零。

4、應(yīng)用萬(wàn)有引力定律求力時(shí)，一定要注意物體質(zhì)量變化時(shí)，兩物體間的間距是否也發(fā)生變化？

例2 兩大小相同的實(shí)心小鐵球緊靠在一起時(shí)，它們之間的萬(wàn)有引力為F。若兩個(gè)半徑為實(shí)心小鐵球2倍的實(shí)心大鐵球緊靠在一起，則它們之間的萬(wàn)有引力為( )

A．2F

B．4F

C．8F

D．16F

解析 小鐵球之間的萬(wàn)有引力

大鐵球的半徑是小鐵球的2倍，其質(zhì)量如下，

兩個(gè)大球間的萬(wàn)有引力為

題型3 萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用

求解天體的質(zhì)量，我們只能求中心天體的質(zhì)量，找一個(gè)繞行體，只要知道繞行體的線速度、角速度、周期中的一個(gè)量及其軌道半徑，即可求中心天體的質(zhì)量。

例3 利用下列哪組數(shù)據(jù)，可計(jì)算出地球的質(zhì)量( )

A．已知地球半徑R和地面的重力加速度g

B．已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r和周期T

C．已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r和線速度v

D．已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度v和周期T

解析 選項(xiàng)A：設(shè)相對(duì)地面靜止的某一物體的質(zhì)量為m，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力的關(guān)系得

GM地mR地2=mg，解得M地=gR地2G

選項(xiàng)B：設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，根據(jù)萬(wàn)有引力等于向心力的關(guān)系得

GM地mr2=mr4π2T2，解得M地=4π2r3GT2

選項(xiàng)C：設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，根據(jù)萬(wàn)有引力等于向心力的關(guān)系得

GM地mr2=mv2r，解得M地=rv2G

選項(xiàng)D：設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，根據(jù)萬(wàn)有引力等于向心力的關(guān)系得

GM地mr2=mr4π2T2

GM地mr2=mv2r

以上兩式消去r解得 M地=v3T2πG

縱上所述，該題的四個(gè)選項(xiàng)都是正確的。

題型4 萬(wàn)有引力定律與拋體運(yùn)動(dòng)知識(shí)相聯(lián)系

在其它星球表面上的拋體運(yùn)動(dòng)與在地球上的遵循相同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，惟一不同的是兩處的重力加速度不一樣。對(duì)于萬(wàn)有引力與拋體運(yùn)動(dòng)相結(jié)合的題目，關(guān)鍵切入點(diǎn)為拋體運(yùn)動(dòng)的加速度就是天體表面的重力加速度。

例4 宇航員站在一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一個(gè)小球，經(jīng)過時(shí)間t，小球落到星球表面，測(cè)得拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為L(zhǎng)。若拋出時(shí)的初速度增大到2倍，則拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的水平距離為3L。已知兩落地點(diǎn)在同一水平面上。該星球的半徑為R，萬(wàn)有引力常量為G，求該星球的質(zhì)量M。

解析 如圖所示，設(shè)拋出點(diǎn)的高度為h，第一次平拋的水平射程為x，則有

x2+h2=L2①

由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知。當(dāng)拋出的初速度增大到原來2倍時(shí)，則水平射程應(yīng)增大到2x，可得

(2x)2+h2=(3L)2②

由①②解得： h=33L

設(shè)該星球表面的重力加速度為g，由平拋規(guī)律可得

題型5 衛(wèi)星變軌問題

人造衛(wèi)星在軌道變換時(shí)，有衛(wèi)星主動(dòng)原因也有其它原因(如受到阻力)，速度發(fā)生變化，導(dǎo)致萬(wàn)有引力與向心力相等關(guān)系被破壞，繼而發(fā)生向心運(yùn)動(dòng)或者離心運(yùn)動(dòng)，發(fā)生變軌。

例5 某人造衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的軌道可近似看作是以地心為中心的圓。由于阻力作用，人造衛(wèi)星到地的距離從r1慢慢變到r2，Ek1、Ek2分別表示衛(wèi)星在這兩個(gè)軌道上的動(dòng)能，則( )

A．r1＜r2，Ek1＜Ek2

B．r1＞r2，Ek1＜Ek2

C．r1＜r2，Ek1＞Ek2

D．r1＞r2，Ek1＞Ek2

解析 假設(shè)衛(wèi)星受阻力仍在原軌道上運(yùn)動(dòng)，則速度一定減小，那么就會(huì)有在原軌道上受到的萬(wàn)有引力大于向心力而做向心運(yùn)動(dòng)使其半徑減小，在向心運(yùn)動(dòng)的過程中衛(wèi)星高度降低，萬(wàn)有引力做正功使其速度增大(或因r1＞r2，由v=GMr知變軌后衛(wèi)星速度變大)，動(dòng)能變大，Ek1＜Ek2。所以選B。

題型6 人造衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律

人造衛(wèi)星的繞行速度、角速度、周期、向心加速度與半徑的關(guān)系

例6 假如一顆做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星的軌道半徑增大到原來的2倍，仍做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則( )

A．根據(jù)公式v=ωr可知，衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的線速度將增大到原來的2倍

B．根據(jù)公式F=mv2r可知，衛(wèi)星所需的向心力將減小到原來的12

C．根據(jù)公式F=GMmr2可知，地球提供的向心力將減小到原來的14

D．根據(jù)上述B項(xiàng)和C項(xiàng)給出的公式，可知衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的線速度將減小到原來的22

解析 半徑增大2倍，線速度也隨之增大2倍的結(jié)論是在角速度不變的情況下才有的。由

GMmr2=mω2r得ω=GMr3，可知當(dāng)衛(wèi)星的軌道半徑增大時(shí)，其繞行的角速度將減小，所以不能得出衛(wèi)星的線速將隨之增大的結(jié)論。

由GMmr2=mv2r可得衛(wèi)星線速度v=GMr，由此式可知，當(dāng)衛(wèi)星的軌道半徑增大2倍時(shí)，衛(wèi)星的線速度減小，變?yōu)樵瓉淼?2。所以選項(xiàng)A是錯(cuò)誤的，選項(xiàng)D是正確的。

由于在衛(wèi)星半徑變化的同時(shí)，衛(wèi)星的線速度也發(fā)生了變化。所以不能直接由F=mv2r得出向心力減小到原來的12這一結(jié)論。又因?yàn)槭堑厍驅(qū)πl(wèi)星的萬(wàn)有引力提供了衛(wèi)星所需的向心力，所以由F=GMmr2來判斷向心力的變化比較方便，由此可知向心力將減小到原來的14。所以B選項(xiàng)錯(cuò)，C選項(xiàng)正確。

題型7 考查宇宙速度

近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度v=GMR地=gR地=7.9km/s，通常稱為第一宇宙速度，它是發(fā)射衛(wèi)星所需要的最小速度，是地球周圍所有衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度。

例7 關(guān)于人造衛(wèi)星和第一宇宙速度，下列說法正確的是( )

①第一宇宙速度是人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最大速度

②第一宇宙速度是發(fā)射人造衛(wèi)星所需的最小速度

③衛(wèi)星離地面越高，運(yùn)動(dòng)速度越大，周期越小

④同一軌道上的人造衛(wèi)星，質(zhì)量越大，向心加速度越大

A．①②

B．②③

C．③④

D．①③

解析 第一宇宙速度是所有地球衛(wèi)星的最大繞行速度，是最小發(fā)射速度。衛(wèi)星離地面越高，繞行運(yùn)動(dòng)速度越小，周期越大，同一軌道上的衛(wèi)星其向心加速度a=GMr2與衛(wèi)星質(zhì)量無(wú)關(guān)，綜上所述只有A項(xiàng)正確。

總結(jié)以上可以看出處理近似圓周運(yùn)動(dòng)的天體運(yùn)動(dòng)問題，解決關(guān)鍵是把萬(wàn)有引力定律與勻速圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律有機(jī)地結(jié)合起來，即GMmr2=mω2r=mv2r=m(2πT)2r，由此演變到各種類型的題目。

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