等腰三角形是一類特殊的三角形，在初中數(shù)學(xué)中有著十分重要的地位，它所蘊(yùn)涵的幾何性質(zhì)倍受命題人的青睞，本文就近年來(lái)在中考試題中出現(xiàn)的“已知等腰三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)，探求在一定條件下的第三點(diǎn)”，在方法上作探討，以期同學(xué)們以后遇到類似問(wèn)題時(shí)能縝密思考，避免漏解。

一、相關(guān)知識(shí)回顧

1，等腰三角形的定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形。

2，線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上任何一點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)距離相等。

二、已知等腰三角形兩個(gè)頂點(diǎn)，探求第三點(diǎn)的位置所在已知線段AB，求作一點(diǎn)C，使AABC為等腰三角形。

由等腰三角形的定義可知：點(diǎn)C在以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的圓上或在以點(diǎn)B為圓心，BA為半徑的圓上(與直線AB的交點(diǎn)除外)。

由線段垂直平分線的性質(zhì)可知：點(diǎn)C在線段AB的垂直平分線上(與AB的交點(diǎn)除外)。

由此可得：點(diǎn)C只能在以上述作法的兩個(gè)圓上或AB的垂直平分線上(與AB的交點(diǎn)除外)，如圖1虛線部分。

三、中考試題分析

例l (2005年山東省東營(yíng)市)如圖2，在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)A(1，1)，在X軸上確定點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)共有( )。

(A)4個(gè)

(B)3個(gè)

(C)2個(gè)

(D)1個(gè)

析解：已知點(diǎn)A與O是等腰三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)，在X軸上尋找滿足條件的點(diǎn)P可按如下方法：

如圖3，(1)以A為圓心，AO為半徑畫圓，與X軸有異于點(diǎn)O的一點(diǎn)，記為Pl；以O(shè)為圓心，OA為半徑畫弧，與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，記為P₂、P₃；

(2)線段OA的垂直平分線與X軸有一個(gè)交點(diǎn)，記為P₄。

綜上可得：符合條件的點(diǎn)P共有4個(gè)，故選A。

例2(2007年重慶市)已知，如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為A(10，0)、C(0，4)，點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△ODP是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_____________。

析解：易知，點(diǎn)D與O是等腰三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)，在邊BC上尋找滿足條件的點(diǎn)P可按如下方法：

如圖5，(1)以O(shè)為圓心，OD(長(zhǎng)為5)為半徑畫圓，與BC邊有一個(gè)交點(diǎn)，記為P₁；以D為圓心，DO為半徑畫圓，與BC邊有兩個(gè)交點(diǎn)，記為P₂、P₃，由已知結(jié)合勾股定理等知識(shí)可算得：P₁(3，4)、P₂(2，4)、P₃(8，4)。

(2)線段OD的垂直平分線與邊BC的交點(diǎn)P₄，但此時(shí)等腰三角形的腰長(zhǎng)不等于5，不合題意。

因此符合條件的點(diǎn)共有3個(gè)，其坐標(biāo)分別是(3，4)、(2，4)、(8，4)。

例3 (2001年江蘇省徐州市)邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖6所示，在平面內(nèi)找點(diǎn)P，使APAB、APBC、APCD、APDA同時(shí)為等腰三角形，這樣的點(diǎn)P有幾個(gè)?作出這些點(diǎn)(保留作圖痕跡，不寫作法)，并寫出它們的坐標(biāo)(不必寫出解答過(guò)程)。

析解：(1)如圖7，以AD為等腰三角形的底，而X軸為AD的垂直平分線，所以所求的點(diǎn)P必在X軸上。

以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫圓，與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，記為P₁，P₂，由AD∥BC且AB=CD可推知，P₁，P₂兩點(diǎn)符

(3)若AB(或CD)與AD(或BC)同時(shí)為等腰三角形的底，則它們的垂直平分線的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，易知點(diǎn)P₉(O，0)也符合要求

綜上可知：符合條件的點(diǎn)P有9個(gè)，坐標(biāo)見(jiàn)上，作圖略。

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