小學(xué)里,我們學(xué)習(xí)了用算術(shù)方法解應(yīng)用題,進(jìn)入初中之后,我們學(xué)會了用方程方法解應(yīng)用題,現(xiàn)在我們又學(xué)習(xí)了用函數(shù)解答應(yīng)用題.用算術(shù)方法解應(yīng)用題,關(guān)鍵是列算式;用方程方法解應(yīng)用題,關(guān)鍵是列方程或方程組;用函數(shù)知識解答應(yīng)用題,關(guān)鍵又是什么呢?關(guān)鍵當(dāng)然是求出蘊(yùn)含于實(shí)際問題中的函數(shù)解析式,然后運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)去解答各種各樣的實(shí)際問題.
下面,我們通過實(shí)例來談?wù)勗鯓舆\(yùn)用一次函數(shù)來解答應(yīng)用題.
例1(2006年臨沂課改區(qū)中考試題)一名考生步行前往考場,10分鐘走了總路程的.估計(jì)步行不能準(zhǔn)時(shí)到達(dá),于是他改乘出租車趕往考場.他的行程s與時(shí)間t的關(guān)系如圖所示(假定總路程為1),則他到達(dá)考場的時(shí)間比一直步行提前了().
(A)20分鐘(B)22分鐘
(C)24分鐘(D)26分鐘
分析:本題由圖象給出已知條件,是圖象信息題.由已知,這位考生步行時(shí),用10分鐘走了總路程的,如果他繼續(xù)步行走完全程,則需要40分鐘.10分鐘之后,這位考生改乘出租車,要求出他到達(dá)考場總共用了多少時(shí)間,因此我們必需求出10分鐘之后的那段圖象的函數(shù)解析式.由函數(shù)圖象提供的信息,有兩個點(diǎn)(10,),(12,)在這個圖象上,這樣,后一段圖象的解析式可求.
解:設(shè)t≥10時(shí)的函數(shù)圖象解析式為s=kt+b,將兩點(diǎn)(10,),(12,)代入得:10k+b=,12k+b=,得k=,b=-1.所以s=t-1.
當(dāng)s=1時(shí),解t-1=1得t=16(分).
這說明,僅需16分鐘,這個考生可到達(dá)考場.如果他一直步行需40分鐘,這位考生提前40-16=24分鐘到達(dá)考場.故選(C).
本題也可用算術(shù)方法解:
解法2由圖象知,這位考生乘出租車之后,僅用2分鐘走了全程的,那么出租車走完全程的只要6分鐘,到考場實(shí)際用16分鐘,比一直步行前往提前40-16=24分鐘.選(C).
例2(2006年遵義市中考試題)我市某停車場在“五一”節(jié)這天停放大小車輛共300輛次.該停車場的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為:大車每輛次5元,小車每輛次3元.解答下列問題:
(1)寫出“五一”節(jié)這天停車場收費(fèi)總金額y(元)與大車停放輛次x(輛)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果“五一”節(jié)這天停放大車輛次占停車總輛次的15%~35%.請你估計(jì)“五一”節(jié)這天停車場收費(fèi)金額的范圍.
分析:(1)因?yàn)橥\噲觥拔逡弧边@天的“收費(fèi)總金額=大車停放收費(fèi)金額+小車停放收費(fèi)金額”,大車停放為x輛,收費(fèi)金額為5x元,小車停放為(300-x)輛,收費(fèi)金額為3(300-x)元,這樣,y與x的函數(shù)關(guān)系式不難求出;(2)當(dāng)x值為總數(shù)300輛次的15%~35%時(shí),x值的范圍可求,相應(yīng)的y值范圍也可求.
解:(1)由題意知:y=5x+3(300-x),化簡得:y=2x+900(0≤x≤300,x為整數(shù)).
(2)300×15%=45,300×35%=105,因此大車停放輛次為45~105輛次.
當(dāng)x=45時(shí),y=2×45+900=990(元).
當(dāng)x=105時(shí),y=2×105+900=1110(元).
答:估計(jì)“五一”節(jié)這天停車場收費(fèi)金額為990~1110元之間.
例3(2006年山東臨沂課改區(qū)中考試題)某報(bào)亭從報(bào)社買來某種日報(bào)的價(jià)格是每份0.3元,賣出的價(jià)格是每份0.5元,賣不出的報(bào)紙可以按每份0.1元的價(jià)格退還報(bào)社.經(jīng)驗(yàn)表明,在一個月(30天)里,有20天每天只能賣出150份報(bào)紙,其余10天每天可以賣出200份.設(shè)每天從報(bào)社買進(jìn)報(bào)紙的份數(shù)必須相同,那么這個報(bào)亭每天買進(jìn)多少份報(bào)紙才能使每月所獲利潤最大?最大利潤是多少?
分析:設(shè)報(bào)亭每天買進(jìn)x份報(bào)紙,把x設(shè)定在150≤x≤200(x為整數(shù))的范圍,每月可獲利潤y元.10天中,如果全賣掉可獲利(0.5-0.3)x×10元,20天中由題意可獲利(0.5-0.3)×150×20元,賣不掉的報(bào)紙?zhí)潛p(0.3-0.1)(x-150)×20元,前兩部分獲利之和減去虧損的部分即為月利潤.
解:設(shè)該報(bào)亭每天從報(bào)社買進(jìn)報(bào)紙x份,所獲月利潤為y元.由題意得:y
=(0.5-0.3)x×10+(0.5-0.3)×150×20-(0.3-0.1)(x-150)×20,化簡得y=-2x+1200(150≤x≤200).
由于k=-2<0,所以y隨x的增大而減小.
所以當(dāng)x=150時(shí),y有最大值,其最大值為y=-2×150+1200=900(元).
答:報(bào)亭每天從報(bào)社買進(jìn)150份報(bào)紙時(shí),每月獲得最大利潤,最大利潤為900元.
例4(2006年長沙市實(shí)驗(yàn)區(qū)中考試題)我市某鄉(xiāng)A#65380;B兩村盛產(chǎn)柑桔,A村有柑桔200噸,B村有柑桔300噸.現(xiàn)將這些柑桔運(yùn)到C#65380;D兩個冷藏倉庫,已知C倉庫可儲存240噸,D倉庫可儲存260噸;從A村運(yùn)往C#65380;D兩處的費(fèi)用分別為每噸20元和25元,從B村運(yùn)往C#65380;D兩處的費(fèi)用分別為每噸15元和18元.設(shè)從A村運(yùn)往C倉庫的柑桔重量為x噸,A#65380;B兩村運(yùn)往兩倉庫的柑桔運(yùn)輸費(fèi)用分別為yA元和yB元.
(1)請?zhí)顚懴卤?,并求出yA#65380;yB與x之間的函數(shù)關(guān)系;
(2)試討論A#65380;B兩村中,哪個村的運(yùn)費(fèi)較少;
(3)考慮到B村的經(jīng)濟(jì)承受能力,B村的柑桔運(yùn)費(fèi)不得超過4830元.在這種情況下,請問怎樣調(diào)運(yùn),才能使兩村運(yùn)費(fèi)之和最小?求出這個最小值.
分析:這是一個運(yùn)輸方案的設(shè)計(jì)問題.當(dāng)A村運(yùn)往C倉庫的柑桔重量x(噸)變化時(shí),yA#65380;yB也隨著變化.第(1)題的表格數(shù)據(jù)的填寫,實(shí)際上是數(shù)據(jù)的梳理和分析過程,為求yA#65380;yB的函數(shù)關(guān)系式作準(zhǔn)備,根據(jù)“運(yùn)費(fèi)=運(yùn)往C村的運(yùn)費(fèi)+運(yùn)往D村的運(yùn)費(fèi)”即可求yA#65380;yB的函數(shù)關(guān)系式;第(2)問是yA與yB值的比較,應(yīng)分別討論yA>yB#65380;yA=yB#65380;yA 解:(1)A村運(yùn)往D處(200-x)噸,B村運(yùn)往C處(240-x)噸,運(yùn)往D處為:260-(200-x)=60+x噸. 所以yA=20x+25(200-x)=-5x+5000(0≤x≤200); yB=15(240-x)+18(60+x)=3x+4680 (0≤x≤300). (2)當(dāng)yA=yB時(shí),由-5x+5000=3x+4680,得x=40(噸);當(dāng)yA>yB,由-5x+5000>3x+4680,得x<40,由(1)得0≤x<40;當(dāng)yA 答:當(dāng)x=40時(shí),A#65380;B兩村的運(yùn)費(fèi)相等;當(dāng)0≤x<40時(shí),A村運(yùn)費(fèi)較大;當(dāng)0 (3)當(dāng)yB≤4830時(shí),解3x+4680≤4830,得x≤50. 設(shè)兩村運(yùn)費(fèi)之和為y(元),由y=yA+yB=-5x+5000+(3x+4860)=-2x+9680,又因?yàn)?≤x<50,函數(shù)y=-2x+9680隨x的增大而減小,所以當(dāng)x=50時(shí),y有最小值:y=-2×50+9680=9580(元). 答:當(dāng)A村調(diào)往C倉庫柑桔為50噸,調(diào)往D倉庫為150噸,B村調(diào)往C倉庫為190噸,調(diào)往D倉庫為110噸時(shí),兩村的運(yùn)費(fèi)之和最小,最小運(yùn)費(fèi)為9580元. 從以上幾個比較典型的例子的解答中,我們可歸納出解答函數(shù)應(yīng)用題的基本方法是: (1)仔細(xì)審題.理清實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系,特別是找已知條件中兩個變量之間的變化狀況#65380;變化規(guī)律,找出聯(lián)系這兩個變量關(guān)系的一個相關(guān)量,為建立函數(shù)關(guān)系式作好準(zhǔn)備. (2)設(shè).將實(shí)際問題中相互制約的兩個變量設(shè)為x#65380; y(當(dāng)然也可設(shè)為其他字母;題意中已設(shè)的,這一步可省). (3)列.列出x#65380; y之間的關(guān)系式,化簡,寫成用x表示y的式子;必要時(shí),確定自變量x的取值范圍(在不少實(shí)際問題中,這個范圍非常重要). (4)解.運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)(或者畫出相應(yīng)的圖象),針對實(shí)際問題提出的解題目標(biāo),作出解答. (5)答.檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際,寫出完整的答句. 審#65380;設(shè)#65380;列#65380;解#65380;答,這幾步,不也正是列方程解答應(yīng)用題的基本步驟和方法嗎?上述幾步中,分析是基礎(chǔ),列函數(shù)關(guān)系式往往是解答的關(guān)鍵! “本文中所涉及到的圖表#65380;公式#65380;注解等內(nèi)容請以PDF格式閱讀”