正三角形中的一些特殊規(guī)律延伸到正多邊形中是否依然適用呢？現(xiàn)舉幾例，與同學(xué)們一起探究.

一、角度變化規(guī)律的延伸

例1如圖，點(diǎn)E、D分別是正△ABC、正四邊形ABCM、正五邊形ABCMN中以C點(diǎn)為頂點(diǎn)的相鄰兩邊上的點(diǎn)，且BE=CD，DB交AE于點(diǎn)P．

(１)求圖1-1中，∠APD的度數(shù)；

(2)圖1-2中，∠APD的度數(shù)為，圖1-3中，∠APD的度數(shù)為；

(3)根據(jù)前面探索，你能否將本題推廣到一般的正n邊形情況?若能，寫(xiě)出推廣問(wèn)題和結(jié)論；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：(1)本題可把∠APD看成△ABP的一個(gè)外角，使其轉(zhuǎn)化為∠ABP

+∠BAE，然后利用△ABE≌△BCD，把∠BAE轉(zhuǎn)化為∠CBD即可；(2)同第(1)小題的思路；(3)經(jīng)過(guò)前面兩小題的探究，運(yùn)用由特殊到一般的思想方法，可歸納出推廣的問(wèn)題和結(jié)論.

解：(1)因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，

所以AB=BC，∠ABE=∠BCD=60°.

又因?yàn)锽E=CD，

所以△ABE≌△BCD．

所以∠BAE=∠CBD，

所以∠APD=∠ABP+∠BAE=∠ABP+∠CBD=∠ABE=60°.

(2)按(1)的思路可得：圖1-2中，∠APD的度數(shù)為90°；圖1-3中，∠APD的度數(shù)為108°．

(3)能.如圖1-4，點(diǎn)E，D分別是正n邊形ABCM…中以C為頂點(diǎn)的相鄰兩邊上的點(diǎn)，且BE=CD，BD與AE交于點(diǎn)P，則∠APD的度數(shù)為■．

二、面積比規(guī)律的延伸

例２如圖２-1，圖２-2分別是兩個(gè)相同正方形、正六邊形，其中一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)在另一個(gè)正多邊形外接圓圓心O處.

(1)求圖２-1中，重疊部分面積與陰影部分面積之比；

(2)求圖２-2中，重疊部分面積與陰影部分面積之比(直接寫(xiě)出答案)；

(3)根據(jù)前面探索和圖２-3，你能否將本題推廣到一般的正n邊形情況(n為大于2的偶數(shù))?若能，寫(xiě)出推廣問(wèn)題和結(jié)論；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

分析：(1)、(2)兩小題，如圖２-4，連接BO、CO，則重疊部分面積可以分別轉(zhuǎn)化為△OBＣ的面積.如圖２-5，連接BO、DO，則重疊部分面積可以轉(zhuǎn)化為四邊形OBCD的面積.求重疊部分面積與陰影部分面積之比，即分別求S△OBC∶S陰影和

S四邊形OBCD∶S陰影.

(3)將前面兩小題的結(jié)論進(jìn)行歸納、猜想，做出推理.

解：(1)由已知得：在△OFB和△OEC中，

∠FBO=∠EＣＯ=45°，BO=CO，∠FOB=∠EOC=90°-∠BOE，

所以△OFB≌△OEC.

所以S重疊部分∶S陰影=S△OBC∶S陰影=1∶3.

(2)同理，S重疊部分：S陰影=S四邊形OBCD：S陰影=1∶2.

(3）能.推廣問(wèn)題：兩個(gè)相同的正n(n為大于2的偶數(shù))邊形，其中一個(gè)正n邊形的頂點(diǎn)在另一個(gè)正n邊形外接圓圓心處，求重疊部分面積與陰影部分面積之比.結(jié)論：（n-2)∶(n+2)

三、線段相等規(guī)律的延伸

例３問(wèn)題背景：某課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到如下兩個(gè)命題：

①如圖３－1，在正三角形ABC中，M、N分別是AC、AB上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BＯＮ＝60°，則BM=CN.

②如圖３-2，在正方形ABCD中，M、N分別是CD、AD上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON=90°，則BM=CN.

然后運(yùn)用類(lèi)比的思想提出了如下的命題：③如圖３-3，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是CD、DE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON=108°，則BM=CN．

任務(wù)要求：

(1)請(qǐng)你從①、②、③三個(gè)命題中選擇一個(gè)進(jìn)行證明；

(2)請(qǐng)你繼續(xù)完成下面的探索：如圖３-4，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是DE、AE上的點(diǎn)，ＢＭ與CN相交于點(diǎn)Ｏ，問(wèn)當(dāng)∠BON=108°時(shí)，結(jié)論BM=CN是否還成立?

若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：本題是一道典型的幾何探究題，引導(dǎo)同學(xué)們由易到難，很好地體現(xiàn)了從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法．(1)要證明BM=CN，根據(jù)圖形的特征很容易分析出就是要證明這兩條邊所在的兩個(gè)三角形全等．(2)在圖形的變化過(guò)程中，BM、CN所在的兩個(gè)三角形的全等關(guān)系沒(méi)有改變，這是題目的本質(zhì)所在．所以，當(dāng)∠BON

=108°時(shí)，結(jié)論BM=CN成立．

解：(1)若選命題①，

證明：在圖３-1中，因?yàn)椤螧ON=60°，所以∠CBM+∠BCN=60°．

因?yàn)椤螧CN+∠ACN=60°，所以∠CBM=∠ACN．

因?yàn)锽C=CA，∠BCM=∠A=60°，所以△BCM≌△CAN，所以BＭ=CN．

若選命題②或③，同理證△BCM≌△CDN．

(2)結(jié)論BM=CN成立.

證明：如圖３-5，連接BD、CE，在△BCD和△CDE中，因?yàn)锽C=CD，∠BCD

=∠CDE=108°，CD=DE，

所以△BCD≌△CDE.所以BD=CE，∠BDC=∠CED，∠DBC=∠ECD．

因?yàn)椤螼BC+∠OCB=∠BON=108°，∠OCB+∠OCD=∠BCD=108°，

所以∠OBC=∠OCD.

又因?yàn)椤螪BC=∠ECD=■（1８０°－108°）＝36°，所以∠DBM=∠ECN.在△BDM和△ECN中，∠DBM=∠ECN，BD=CE，∠EDB=∠AEC=72°．

所以△BDM≌△ＣEN，所以BM=CN．

即∠BON=108°時(shí)，結(jié)論BM=CN仍然成立．