三角形中的不等關(guān)系主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：(1)邊——三角形任意兩邊之和大于第三邊；(2)角——三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.這兩個(gè)不等關(guān)系在解題時(shí)有著重要的應(yīng)用，下面舉例說(shuō)明：

例1如下圖所示，已知△ABC中，AD是△ABC外角∠EAC的平分線且交BC的延長(zhǎng)線于D，你能比較∠ACB與∠B的大小嗎？說(shuō)出你的理由．

解：∠ACB＞∠B，理由如下：

因?yàn)锳D平分∠EAC，

所以∠1=∠2.

又因?yàn)椤螦CB是△ADC的一個(gè)外角，∠2是△ABD的一個(gè)外角，

所以∠ACB＞∠1，∠2＞∠B，

所以∠ACB＞∠B．

例２如右圖所示，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，連接BP、CP，試說(shuō)明∠BPC＞∠A.

分析：∠BPC和∠A在兩個(gè)不同的三角形中，不能直接比較它們的大小，必須作輔助線把這兩個(gè)角聯(lián)系起來(lái)，聯(lián)想到“三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角”，可以延長(zhǎng)BP交AC于D解決問(wèn)題．

解：延長(zhǎng)BP交AC于D，由于∠BPC是△PDC的外角，所以∠BPC＞∠PDC．

又因?yàn)椤螾DC是△ABD的外角，所以∠ＰＤＣ＞∠A．

所以∠BPC＞∠A．

說(shuō)明：本題還可“連接AP并延長(zhǎng)”，同學(xué)們不妨自己動(dòng)手試一試.

例3如右圖所示，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，試說(shuō)明：AB+AC＞OB+OC.

分析：構(gòu)造出兩個(gè)三角形，使之包含結(jié)論中的4條線段，可利用“三角形兩邊之和大于第三邊”解決問(wèn)題.

解：延長(zhǎng)BO交AC于D，則在△ABD中，AB

+AD＞OB+OD．

在△ODC中，OD+ＤC＞OC.

所以AB+AD+OD+DC＞OB+OD+OC，

即AB+AC＞OB+OC.

例4如下圖，小明急需從B村出發(fā)去C村完成一項(xiàng)任務(wù)，由于B、C之間有一座小山，故從B不能直達(dá)C，他可經(jīng)過(guò)D、E到達(dá)C村，也可經(jīng)過(guò)A到達(dá)C村，請(qǐng)你就以上兩種路線選擇一條去C最近的，并說(shuō)明理由.

分析：選擇的路線應(yīng)為B→D→E→C，本題同樣需要構(gòu)造三個(gè)三角形，然后利用“三角形兩邊之和大于第三邊”解決問(wèn)題.

解：小明去C村應(yīng)選擇的路線為B→D→E→C.

理由：延長(zhǎng)DE、ＥＤ，分別交AＣ、AＢ于Ｎ、Ｍ．

在△AMN中，AM+AN＞MN，即AM+AN＞MD+DE+EN．

在△BMD中，BM+MD＞BD，所以BM＞BD-MD.

在△CNE中，CN+EN＞CE，所以CN＞CE-EN．

所以AM+AN+BM+CN＞DE+BD+CE，

即AB+AC＞BD+DE+CE.

故最近路線為B→D→E→C．