[摘要] 利用抽樣檢驗(yàn)特征曲線，分析了在商品抽樣檢驗(yàn)中批量、樣本容量、不合格判定數(shù)，三個(gè)參數(shù)的改變對(duì)生產(chǎn)者風(fēng)險(xiǎn)和消費(fèi)者風(fēng)險(xiǎn)的影響。

[關(guān)鍵詞] 抽樣檢驗(yàn)抽樣特征曲線生產(chǎn)者風(fēng)險(xiǎn)消費(fèi)者風(fēng)險(xiǎn)

一、前言

商品質(zhì)量的好壞是商場(chǎng)賴以生存的基礎(chǔ)，因此商場(chǎng)對(duì)商品必須定期進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，在檢驗(yàn)商品的質(zhì)量是否合格時(shí)由于人力、物力的限制，一般都是實(shí)施抽樣檢驗(yàn)，其規(guī)則如下圖所示：

抽樣檢驗(yàn)是通過樣本來判別總體，難免要犯兩類錯(cuò)誤。第Ⅰ類錯(cuò)誤為：將合格的商品批錯(cuò)判為不合格，導(dǎo)致整批拒收，使生產(chǎn)者蒙受損失，稱為生產(chǎn)者風(fēng)險(xiǎn)，其風(fēng)險(xiǎn)率用表示；第Ⅱ類錯(cuò)誤為：將不合格商品批錯(cuò)判為合格，使用戶蒙受損失，稱為用戶風(fēng)險(xiǎn)，其風(fēng)險(xiǎn)率用表示。本文利用抽樣檢驗(yàn)特征曲線，分析抽樣檢驗(yàn)的兩種風(fēng)險(xiǎn)。

二、模型

抽樣檢驗(yàn)涉及三個(gè)參數(shù)，即商品的批量N，樣本大小n，不合格判定數(shù)。就構(gòu)成了一個(gè)抽樣方案。

對(duì)一個(gè)批質(zhì)量已知的商品批（即批不合格品率p為已知），按給定的抽樣方案，判該商品為合格批的概率，稱為批合格概率，用L(p)表示。由于樣本中出現(xiàn)的不合格品數(shù)時(shí)，均為合格，所以批合格概率為：

由于生產(chǎn)過程中，采用的是不放回抽樣，因此抽取n件樣品，各次試驗(yàn)之間不相互獨(dú)立，所以樣本不合格品數(shù)服從超幾何分布，即樣本中不合格品數(shù)為k的概率為：

因此

用超幾何分布計(jì)算L(p)雖精確，但由于抽樣檢驗(yàn)中，批量N較大，計(jì)算組合數(shù)相當(dāng)麻煩。

當(dāng)批量時(shí)，不放回抽樣可看作是放回抽樣，超幾何分布將趨于二項(xiàng)分布。一般來說，當(dāng)時(shí)，超幾何分布就與二項(xiàng)分布很接近了。

在用抽樣方案來驗(yàn)收時(shí)，即要保證生產(chǎn)者的利益，又要維護(hù)消費(fèi)者的權(quán)益，所以在批質(zhì)量差，即不合格品率p較大時(shí)，應(yīng)以較小的概率接收該批商品，即L(p)應(yīng)較??；當(dāng)批質(zhì)量較好時(shí)，即p較小時(shí)，L(p)應(yīng)較大。因此，我們可以用批不合格品率p為橫軸，以批質(zhì)量合格概率L(p)為縱軸，畫出相應(yīng)的抽樣特征曲線，即OC曲線。OC曲線與抽樣方案一一對(duì)應(yīng)，它形象地顯示了該抽樣方案的把關(guān)能力。

三、兩種風(fēng)險(xiǎn)的分析與討論

1.當(dāng)n，Ac一定，改變時(shí)兩種風(fēng)險(xiǎn)的分析

為了討論批量N的大小的改變對(duì)生產(chǎn)者風(fēng)險(xiǎn)率和消費(fèi)者風(fēng)險(xiǎn)的影響，用超幾何分布來準(zhǔn)確計(jì)算(50，20，0)、(100，20，0)、(200，20，0)、(1000，20，0)四種抽樣方案的接收概率L(p)值，并畫出相應(yīng)的OC曲線如圖1。

當(dāng)不合格品率p比較小時(shí)（比如小于5%），出于對(duì)生產(chǎn)者利益的保護(hù)，應(yīng)接收該批商品。由圖1可以看出，當(dāng)n，Ac一定時(shí)，隨著N的增加，接收概率L(p)增加，即生產(chǎn)者風(fēng)險(xiǎn)減小。當(dāng)不合格品率p比較大時(shí)（比如大于8%），出于對(duì)消費(fèi)者利益的保護(hù)，應(yīng)拒絕接收該批商品。由圖1可以看出，當(dāng)n，Ac一定時(shí)，隨著N的增加，接收概率L(p)增加，即拒絕概率減小，消費(fèi)者風(fēng)險(xiǎn)變大。

綜上所述，在抽樣檢驗(yàn)中，當(dāng)n，Ac一定時(shí)，批量N越大，生產(chǎn)者風(fēng)險(xiǎn)越小，消費(fèi)者風(fēng)險(xiǎn)越大；批量N越小，生產(chǎn)者風(fēng)險(xiǎn)越大，消費(fèi)者風(fēng)險(xiǎn)越小。

考察一下(1000，20，0)和(，20，0)這兩個(gè)抽樣方案，當(dāng)一批商品的不合格品率時(shí)，用超幾何分布計(jì)算，用二項(xiàng)分布計(jì)算計(jì)算兩個(gè)抽樣方案的接收概率，分別為0.355和0.358，當(dāng)時(shí)，其接收概率分別為0.119和0.122，二者相差很小。如果把抽樣方案（∞，20；0）的OC曲線在圖1中畫出來，它與抽樣方案（1000，20；0）的OC曲線幾乎重和在一起。

當(dāng)N>10n時(shí)，無論N值怎么變化，N對(duì)OC曲線的影響不大，其OC曲線與N=+的曲線十分接近，可以用二項(xiàng)分布來計(jì)算其接受概率。

2.當(dāng)N，Ac一定，改變時(shí)兩種風(fēng)險(xiǎn)的分析

按公式（2），計(jì)算(1000，5，1)、(1000，10，1)、(1000，20，1)、(1000，30，1)、(1000，50，1)五種抽樣方案的接收概率，并畫出相應(yīng)的OC曲線如圖2。

由圖2可見，當(dāng)N和Ac一定時(shí)，隨著n的增加，OC曲線往左移動(dòng)，且曲線變陡，靈敏度增加。即在同一p值下，隨著樣本容量n的增加，接收概率L(p)減小，方案變嚴(yán)，生產(chǎn)者風(fēng)險(xiǎn)增加，消費(fèi)者風(fēng)險(xiǎn)減小。

3.當(dāng)N，n一定，改變Ac時(shí)兩種風(fēng)險(xiǎn)的分析

按公式(2)，計(jì)算(1000，20，3)、(1000，20，2)、(1000，20，1)、(1000，20，0)四種抽樣方案的接收概率，并畫出相應(yīng)的OC曲線如圖3。

圖3可見，隨著Ac的增大，OC曲線往右移，且曲線變陡，靈敏度增加。說明在同樣的p值下，L(p)隨著合格判定數(shù)Ac的增加而增加。表明抽樣方案變寬，生產(chǎn)者風(fēng)險(xiǎn)減小，消費(fèi)者風(fēng)險(xiǎn)增加。

四、結(jié)束語

任何一種抽樣檢驗(yàn)方案，對(duì)生產(chǎn)者和消費(fèi)者都具有風(fēng)險(xiǎn)，這是不可避免的，但事先雙方可以通過協(xié)商來確定雙方都可以接受的風(fēng)險(xiǎn)率α和β，再通過α和β來確定抽樣檢驗(yàn)的方案，以確保生產(chǎn)者和消費(fèi)者的利益。首先由供需雙方共同商定P₀，P₁，α，β給定這些量后，要求建立的一個(gè)抽樣方案應(yīng)滿足條件:

顯然，接收概率L(P)關(guān)于廢品率P單調(diào)下降的，即廢品率越大，接收概率越小。所以上述條件可表示為：

根據(jù)抽樣類型及抽樣比例，選擇適當(dāng)?shù)腖（P）的計(jì)算公式，例如：對(duì)于批量足夠大的計(jì)算抽樣，計(jì)劃樣本大小n≤0.1N，選擇二項(xiàng)分布來計(jì)算抽樣方案的接收概率。則需解以下方程組。

這組方程組中僅有兩個(gè)未知數(shù)n和Ac。并且這兩個(gè)方程是各自獨(dú)立的。在解上述方程組中，會(huì)比較麻煩，還要注意到n和Ac都是自然數(shù)。所以我們可以通過迭代的方法得到近似解。再通過驗(yàn)算，看是否滿足供需比方的要求。

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