[摘要] 本文采用計(jì)算機(jī)仿真方法計(jì)算固定利率按揭合同中違約和提前償還期權(quán)的價(jià)值，按揭合同存續(xù)期間各期策略以當(dāng)期預(yù)期成本最小化為目標(biāo)，通過逆向遞歸求得各種不同條款按揭合同的價(jià)值，進(jìn)而得到各期權(quán)的價(jià)值。為了解決仿真技術(shù)與逆向遞歸的根本沖突，本文采用了Tilley(1993年)的“分束法”計(jì)算前一期按揭合同的價(jià)值。

[關(guān)鍵詞] 仿真違約期權(quán)提前支付期權(quán)

一、導(dǎo)言

按揭貸款在價(jià)值較高耐用品消費(fèi)市場(chǎng)中占有很大份額，也是銀行金融業(yè)務(wù)的重要組成部分。隨著金融機(jī)構(gòu)之間競爭的日益加劇，推出不同按揭金融產(chǎn)品以滿足不同消費(fèi)者的需求是大勢(shì)所趨。以房貸市場(chǎng)為例，在我國1997年以前，國內(nèi)居民買房基本都是一次性付清，談不上有房貸市場(chǎng)。1997年初，國家為啟動(dòng)房地產(chǎn)市場(chǎng)，逐漸放寬房地產(chǎn)信貸政策，1998年國家取消福利分配住房制度，正式出臺(tái)個(gè)人住房貸款管理辦法，個(gè)人房貸市場(chǎng)開始逐漸發(fā)展。隨后，在最初按揭貸款方式等額本息的基礎(chǔ)上逐漸推出等額本金，等額遞增，等額遞減等房屋按揭方式。2006年，中國建設(shè)銀行、光大銀行、招商銀行推出固定利率房貸，深圳發(fā)展銀行則推出“雙周供”業(yè)務(wù)，中國農(nóng)業(yè)銀行在廣東、北京等分行試點(diǎn)“接力貸”新型房貸業(yè)務(wù)。

金融機(jī)構(gòu)開發(fā)和推出金融產(chǎn)品的周期在不斷縮短，如何采取有效且經(jīng)濟(jì)的方法定價(jià)不同的金融產(chǎn)品是一個(gè)需要不斷探索和完善的課題。本文通過計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)估算按揭合同中內(nèi)含期權(quán)的價(jià)值，為金融產(chǎn)品的定價(jià)提供部分的理論依據(jù)。

二、文獻(xiàn)回顧

Epperson等（1985年）討論了固定利率按揭合同中違約保險(xiǎn)的定價(jià)。他們認(rèn)為該保險(xiǎn)可以看作復(fù)合看跌歐式期權(quán)。根據(jù)Black－Scholes－Merton微分方程：

建立偏微分方程，用有限差分法解方程，得到期初違約期權(quán)的價(jià)值。Cunningham和. Hendershott（1984年）從或有要求權(quán)出發(fā)定價(jià)了違約期權(quán)。 Brueckner(2000年）從信息不對(duì)稱角度對(duì)按揭違約進(jìn)行了討論。

Hall(1985年）認(rèn)為固定利率按揭合同中的提前償還條款是一看漲期權(quán)，因?yàn)橘J款人可以

以事先知道的不受利率影響的價(jià)格回購按揭合同。但是該期權(quán)在兩方面區(qū)別與標(biāo)準(zhǔn)金融期權(quán)：一是提前償還期權(quán)始終由按揭抵押證券發(fā)行者持有；二是一旦按揭關(guān)聯(lián)財(cái)產(chǎn)被售出，按揭貸款或者被重新支付，或者轉(zhuǎn)移給新的財(cái)產(chǎn)所有者。Hall接著通過模擬利率二叉樹求解期初提前償還期權(quán)的價(jià)值。Murphy（1991年）建立了價(jià)格路徑模型，假定提前償還是看漲期權(quán)價(jià)值的函數(shù)，前向迭代求解提前償還期權(quán)的價(jià)值。Murphy（2000年)比較了利率路徑模型和價(jià)格路徑模型的效果，認(rèn)為價(jià)格路徑模型與實(shí)證分析更為吻合。

Leung和Sirmans(1990年)用網(wǎng)格法分別計(jì)算了違約期權(quán)，提前償還期權(quán)，違約及提前償還混合期權(quán)的價(jià)值。Kau等(1992年)考慮到提前償還與利率的期限結(jié)構(gòu)有關(guān)，而違約則是由于按揭物價(jià)值的波動(dòng)，以利率和按揭物價(jià)值為不確定因素建立了二維偏微分方程，求解了提前償還期權(quán)和違約期權(quán)的價(jià)值。Ambrose和Sanders（2003年）使用按揭抵押證券數(shù)據(jù)對(duì)提前償還和違約進(jìn)行了分析。

三、模型及算法

數(shù)學(xué)家們傾向于在用其它方法無法或者非常困難得到解時(shí)才考慮應(yīng)用仿真技術(shù)，恰恰相反，投資者總樂于用一種方法計(jì)算所有的資產(chǎn)組合，金融中介機(jī)構(gòu)則樂于用一種方法來分析整個(gè)資產(chǎn)——負(fù)債情況，而仿真方法使其成為可能。市場(chǎng)是千變?nèi)f化的，諸多因素都影響著資產(chǎn)價(jià)格，通過建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆蔷€性偏微分方程模型得到資產(chǎn)及其衍生產(chǎn)品價(jià)格的近似解非常的困難，采用仿真方法來解決問題便成為一個(gè)較好且實(shí)際的選擇。本文嘗試用計(jì)算機(jī)仿真方法來定價(jià)固定利率按揭合同中違約和提前償還期權(quán)，模型中假定按揭合同為固定利率等額償還方式。

1.環(huán)境變量

根據(jù)Kau等(1992年)的理論，期權(quán)價(jià)值受按揭物價(jià)值和利率的影響，本文定義一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的經(jīng)濟(jì)環(huán)境，假設(shè)按揭物價(jià)值與利率不相關(guān)。其中

(1)按揭物價(jià)值波動(dòng)是一維納過程：

①

分別表示按揭物的期望回報(bào)率，折舊率，標(biāo)準(zhǔn)差；為一標(biāo)準(zhǔn)維納過程

（2）根據(jù)Cox， Ingersoll和 Ross(1985年)理論，利率期限結(jié)構(gòu)為均值回歸平方根過程：

②

分別表示調(diào)整速度，穩(wěn)態(tài)利率，利率標(biāo)準(zhǔn)差；為標(biāo)準(zhǔn)維納過程

2.決策標(biāo)準(zhǔn)

根據(jù)①②模擬每一支付日按揭物的價(jià)值及當(dāng)期利率，模擬次數(shù)為K次。在每一還款日貸款人有三種選擇：違約，正常支付，提前償還。貸款人在每一還款日以成本最小化為目標(biāo)函數(shù)作出決策。采用Leung和Sirmans(1990年)的標(biāo)準(zhǔn)來測(cè)算各種選擇的成本：

（1）正常支付的成本：MP+MB(i，k)

（2）違約的成本： (1+a)*H(i，k)

（3）提前償還的成本：(1+β)*RB(i)+MP

MP，MB(i，k)，H(i，k)， RB(i)分別表示每期支付額，路徑k中第i支付日按揭物的帳戶余額，路徑k中第i支付日按揭物的價(jià)值及第i還款日按揭的帳戶余額；β，a分別表示重新融資成本，違約的懲罰因子；其中i=1，2，…，T；T為按揭支付的次數(shù)；k=1，2，…，K；K為模擬的次數(shù)。

當(dāng)i=T，即合同期末時(shí)，貸款人在正常支付和違約之間作出選擇。

按揭的價(jià)值M為：

M(i，k)=min{ MP+MB(i，k)， (1+a)*H(i，k)，(1+β)*RB(i)+MP}，i=1，2，…，T－1； k=1，2，…，K

M(T，k)=min{ MP， (1+a)*H(T，k) }， k=1，2，…，K

定義狀態(tài)變量SI（State Index）：

3.求解按揭賬戶余額MB的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法

基于Epperson等(1985年)的觀點(diǎn)，違約期權(quán)和提前償還期權(quán)是復(fù)合型的歐式期權(quán)。由于復(fù)合期權(quán)前一期期權(quán)價(jià)值受后續(xù)期期權(quán)價(jià)值的影響，復(fù)合期權(quán)的定價(jià)是一逆向遞歸動(dòng)態(tài)規(guī)劃過程。而普通模擬技術(shù)在本質(zhì)上都是一前向遞歸過程（Michael等，2000年），并不適合直接解決逆向遞歸過程。但Tilley(1993年)提出了“分束法”解決這一內(nèi)在矛盾，即在算法應(yīng)用之前模擬所有的隨機(jī)過程。本文利用Tilley(1993年)思想從按揭物價(jià)值路徑法求解按揭物的賬戶余額MB。按揭物價(jià)值路徑動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法步驟為：

（1）根據(jù)①②模擬每一支付日按揭物的價(jià)值及當(dāng)期利率的路徑，模擬次數(shù)為K（K=Q*P）次。

（2）在時(shí)期i對(duì)按揭物的價(jià)值H（i，k）進(jìn)行排序，將排序后的H（i，k）分為Q束，每束有P個(gè)路徑。

（3）支付日按揭的賬戶余額RB(i)=MP*(1-(1+R/m)^(i-T))/(R/m)。

i=1，2，…，T－1；R為按揭合同的固定利率；m為每年支付頻率。

（4）確定M(i，k)：M(i，k)=min{ MP+MB(i，k)， (1+a)*H(i，k)，(1+β)*RB(i)+MP}，i=1，2，…，T－1； k=1，2，…，K；

（5）確定SI(i，k)。

i=1，2，…，T－1； k=1，2，…，K。

（6）從i期r中隨機(jī)挑選一束大小最接近的P個(gè)r值作為i期某束的利率：r(i，k)

i=1，2，…，T－1； k=1，2，…，K。

（7）計(jì)算第q束的MB(i，k): MB(i，k)=

i=1，2，…，T－1； q= 1，2，…，Q; k=1，2，…，K。

（8）i=i-1，返回（2）；

初始條件：M(T，k)=min{ MP， (1+a)*H(T，k) }， k=1，2，…，K；

4.計(jì)算期權(quán)價(jià)值

應(yīng)用同樣的方法，可以求得不可違約不可提前償還合同中按揭物的賬戶余額NDP，不可違約可提前償還合同中按揭物的帳戶余額ND，可違約不可提前償還合同中按揭物的賬戶余額NP，各期權(quán)價(jià)值分別為：

(1)第i期違約與提前償還混合期權(quán):DPO(i)=。

(2)第i期違約期權(quán):DO(i)=。

(3)第i期提前償還期權(quán):PO(i)=。

其中i=0，1，2，…，T－1。

四、實(shí)證分析

1.參數(shù)對(duì)期權(quán)價(jià)值的影響

以本文的模型為例，當(dāng)按揭物的價(jià)值波動(dòng)σk為0.05時(shí)違約價(jià)值（DO）均為0，當(dāng)σk增大到0.15時(shí)， DO的值為按揭物價(jià)值的0.3%～4%，當(dāng)LTV=0.95，a=0.10， 從0.05變化到0.15時(shí)，DO從按揭物價(jià)值的0.9%增加到4%；違約懲罰因子a對(duì)DO的影響明顯，特別地，

當(dāng)LTV=0.95，σk=0.15，σk=0.15時(shí)，當(dāng)a為0.30，DO的值僅為a=0.10時(shí)的1/10，說明成熟的信用體系能有效的沖抵利率和資產(chǎn)的波動(dòng)；在其他條件相同的情況下，LTV=0.80時(shí)DO值遠(yuǎn)小于LTV=0.95時(shí)的DO值，說明提高首期支付對(duì)防止違約是有效的；再融資成本β的變化對(duì)DO沒有影響。

提前償還期權(quán)PO隨利率波動(dòng)率σk的變化而明顯變化:其他參數(shù)一定時(shí)，σk為0.15時(shí)PO的值是 為0.05時(shí)PO值的三倍多;LTV從0.8變化到0.95時(shí)，PO的值也增加了約按揭物價(jià)值的1%;再融資成本β的變化對(duì)PO的影響不明顯；PO與σk，違約懲罰因子a沒有關(guān)系。

當(dāng)DO不為零時(shí)，混合期權(quán)DPO的值小于DO與PO值的和，因?yàn)橐粋€(gè)期權(quán)的執(zhí)行使另一個(gè)期權(quán)自動(dòng)失效。尤其當(dāng)DO、PO的值都很大時(shí)，DPO與DO、PO之和的差距顯著。

2.期權(quán)狀態(tài)分析

圖1示意了a=0.10， β=0.02，σH=0.15，σr=0.15，LTV=0.95，即對(duì)應(yīng)于表2第四列參數(shù)的DO，PO，DPO，DO+PO的價(jià)值隨合同到期日的臨近而逐漸衰減。圖2則是當(dāng)參數(shù)取值為 a=0.30， β=0.02，σH=0.15，σr=0.15，LTV=0.95時(shí)各期權(quán)價(jià)值隨時(shí)間的變化。圖1、圖2的比較顯示a的上升使DO值大幅下降。

圖3示意了a=0.10， β=0.02，σH=0.15，σr=0.15，LTV=0.95時(shí)混合期權(quán)各期執(zhí)行期權(quán)（Prob.DP）概率及其中違約概率（Prob. D(DP)）、提前償還概率（Prob.P），單一違約概率（Prob. D(s)），單一提前償還概率（Prob. P）隨時(shí)間的變化。混合期權(quán)執(zhí)行概率及提前償還概率大約相等，而且在相當(dāng)長一段時(shí)間內(nèi)概率大小隨機(jī)波動(dòng)，直至160期概率才開始明顯衰減?；旌掀跈?quán)中的違約概率在合同持續(xù)期都非常小，但是當(dāng)違約期權(quán)單獨(dú)存在時(shí)，尤其在合同前期，違約可能性不容忽視。

圖1圖2圖3

五、模型拓展和結(jié)語

仿真方法提供了一種直觀高效的算法計(jì)算按揭合同中提前償還期權(quán)、違約期權(quán)及兩者混合期權(quán)的價(jià)值。由于其各期的決策取決于當(dāng)期的成本預(yù)期，該模型經(jīng)過適當(dāng)修改可以用于計(jì)算其他方法難于計(jì)算的期權(quán)價(jià)值，特別適合計(jì)算合同中的內(nèi)嵌期權(quán)或者內(nèi)嵌選擇權(quán)。模型一旦建立，可以根據(jù)需要給各參數(shù)取值，分析出需要的結(jié)果。

由于缺乏實(shí)際的市場(chǎng)數(shù)據(jù)，無法驗(yàn)證該模型所得結(jié)果與現(xiàn)實(shí)的擬合度，從而無法進(jìn)一步對(duì)模型進(jìn)行修正。如果相關(guān)的金融從業(yè)機(jī)構(gòu)或研究機(jī)構(gòu)對(duì)該模型有些許興趣，歡迎修改、修正模型。