代入法和加減法是解方程組的兩種基本方法,但不管哪種方法,其基本思想都是消元.同學(xué)們在掌握消元的步驟的同時(shí),還要注意觀察、分析方程組中每個(gè)方程的結(jié)構(gòu)特征,靈活運(yùn)用消元的思想,從不同角度巧妙求解,這樣不僅簡化解題過程,而且有助于對該知識(shí)實(shí)質(zhì)性的理解和掌握,同時(shí)培養(yǎng)了創(chuàng)新能力.
一、整體法
1.整體代入法
例1解方程組2(3x-6015)=3+3y,①3x-6015=2y. ②
分析:把3x-6015看成一個(gè)整體,將②代入①即可達(dá)到消元的目的.
解:把②代入①,得:4y=3+3y,解得:y=3.
把y=3代入②,得:3x-6015=6,解得:x=2007.
所以原方程組的解是x=2007, y=3.
2.整體加減法
例2解方程組2005x+2006y=2007, ①2006x+2005y=2004. ②
分析:若用常規(guī)加減法或代入法消去x或y,不僅運(yùn)算量大,并且容易出錯(cuò),如果注意觀察方程①、②中x、y的系數(shù)和及常數(shù)和,我們便能發(fā)現(xiàn)規(guī)律,迅速求出x+y的值,然后再整體代入方程中就容易求解了.
解:由①+②,得:4011(x+y)=4011,即x+y=1.③
由①,得:2005x+2006y=2005x+2005y+y=2005(x+y)+y=2007,
即2005(x+y)+y=2007.④
把③代入④,得:2005×1+y=2007,解得:y=2.
把y=2代入③,得:x=-1.
所以原方程組的解是x=-1,y=2.
二、引入?yún)?shù)法
所以原方程組的解是x=6,y=8,z=10.
三、連加連減法
例4解方程組2x+y+z=13, ①x+2y+z=1,②x+y+2z=2.③
分析:方程①、②、③中,x、y、z的系數(shù)和都是4,并且①、②、③中的x、y、z的系數(shù)有一定的規(guī)律,分別是2、1、1,1、2、1,1、1、2.
解:由①+②+③,得4x+4y+4z=16,即x+y+z=4.④
由①-④,得:x=9;由②-④,得:y=-3;由③-④,得:z=-2.
所以原方程組的解是x=9,y=-3,z=-2.
四、輪換相加法
例5解方程組x+y-z=11, ①y+z-x=5,②z+x-y=1.③
分析:常規(guī)解法是把三元一次方程組消元,但只要稍加觀察就不難發(fā)現(xiàn)此方程組中的x、y、z是輪換對稱的,不妨采用下面的方法求解.
解:由①+②,得:2y=16,即y=8.
由①+③,得:2x=12,即x=6.
由②+③,得:2z=6,即z=3.
所以原方程組的解是x=6,y=8,z=3.
五、類比法
例6如果關(guān)于x、y的二元一次方程組3x-ay=16,2x+by=15的解是x=7,y=1,那么關(guān)于x、y的方程組3(x+y)-a(x-y)=16,2(x+y)+b(x-y)=15的解是.
解析:若按照常規(guī)解法,先求出a、b的值,再代入第二個(gè)方程組,也可以求解;但認(rèn)真觀察,比較題目中給出的兩個(gè)方程組,不難發(fā)現(xiàn)其中的巧妙之處:x→x+y,y→x-y.由第一個(gè)方程組給出的解x=7,y=1,可得x+y=7,x-y=1.解此方程組得x=4,y=3.這樣求解更簡捷,且運(yùn)算量小.
六、拼湊法
例7已知方程組2007x+2008y=6022,2008x+2007y=6023,則xy= .
解析:原方程組可變形為2007x+2008y=2007×2+2008×1,2008x+2007y=2008×2+2007×1,從而易得x=2,y=1.
故xy=2.
注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。